若1a−1b=4 \dfrac {1}{a}- \dfrac {1}{b}=4,则a−2ab−b2a+7ab−2b \dfrac {a-2ab-b}{2a+7ab-2b}的值是 ___ .

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完整解法

1. 将已知等式进行通分和变形,得到 $a-b$ 与 $ab$ 的关系

由已知条件 1a−1b=4\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = 4 通分可得:
b−aab=4\dfrac{b-a}{ab} = 4

两边同乘以 abab(由分母不为 00 可知 a≠0a \neq 0 且 b≠0b \neq 0,则 ab≠0ab \neq 0):
b−a=4abb-a = 4ab

两边同乘以 −1-1,整理得:
a−b=−4aba-b = -4ab

2. 将待求分式的分子和分母进行分组,构造出含有 $a-b$ 的形式

对待求分式 a−2ab−b2a+7ab−2b\dfrac{a-2ab-b}{2a+7ab-2b} 的分子和分母分别按含有 a,ba, b 的项与含有 abab 的项进行分组整理,得:
a−2ab−b2a+7ab−2b=(a−b)−2ab2(a−b)+7ab\dfrac{a-2ab-b}{2a+7ab-2b} = \dfrac{(a-b)-2ab}{2(a-b)+7ab}

3. 将 $a-b = -4ab$ 整体代入目标式并约分化简,求得最终数值

将 a−b=−4aba-b = -4ab 代入上式中:
(a−b)−2ab2(a−b)+7ab=−4ab−2ab2(−4ab)+7ab=−6ab−8ab+7ab=−6ab−ab\dfrac{(a-b)-2ab}{2(a-b)+7ab} = \dfrac{-4ab-2ab}{2(-4ab)+7ab} = \dfrac{-6ab}{-8ab+7ab} = \dfrac{-6ab}{-ab}

因为 ab≠0ab \neq 0,约分去分子分母中的 −ab-ab,得:
−6ab−ab=6\dfrac{-6ab}{-ab} = 6

答案

6

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