已知$f(x)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|.(Ⅰ)$求$f(x)$在$[-1,1]$上的最大值$m$及最小值$n$； $(Ⅱ)$在$(Ⅰ)$的条件下，设$a,b\in R$，且$am+bn=1$，求证：$a^{2}+b^{2}\geqslant\dfrac{4}{45}.$

1. 根据绝对值零点对区间 $[-1, 1]$ 进行分段，化简解析式

令 $2x+1=0$ 得 $x=-\dfrac{1}{2}$；令 $x-1=0$ 得 $x=1$。
当 $x \in \left[-1, -\dfrac{1}{2}\right)$ 时，$2x+1 < 0$，$x-1 < 0$，
$f(x) = -(2x+1) - (x-1) = -3x;$
当 $x \in \left[-\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 时，$2x+1 \geqslant 0$，$x-1 \leqslant 0$，
$f(x) = (2x+1) - (x-1) = x + 2.$

2. 分析各段函数的单调性，求出最大值 $m$ 与最小值 $n$

在 $\left[-1, -\dfrac{1}{2}\right)$ 上，$f(x) = -3x$ 单调递减，此时 $f(-1) = 3$，$f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$；
在 $\left[-\dfrac{1}{2}, 1\right]$ 上，$f(x) = x + 2$ 单调递增，此时 $f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$，$f(1) = 3$。
因此，$f(x)$ 在 $[-1, 1]$ 上的最小值为 $n = f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{3}{2}$；
最大值为 $m = f(-1) = f(1) = 3$。

1. 代入 $m, n$ 的值，得到 $a, b$ 的线性约束条件

由 (Ⅰ) 知 $m = 3$，$n = \dfrac{3}{2}$。
代入 $am + bn = 1$，得：
$3a + \dfrac{3}{2}b = 1 \implies 2a + b = \dfrac{2}{3}.$

2. 利用柯西不等式（或消元配方法）证明不等式成立

由柯西不等式，有：
$(2^2 + 1^2)(a^2 + b^2) \geqslant (2a + b)^2.$
将 $2a + b = \dfrac{2}{3}$ 代入上式，得：
$5(a^2 + b^2) \geqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9},$
解得：
$a^2 + b^2 \geqslant \dfrac{4}{45}.$
当且仅当 $\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{1}$，即 $a = \dfrac{4}{15}, b = \dfrac{2}{15}$ 时，等号成立。
故命题得证。