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含绝对值的方程与不等式

$|x|$ 的概念，以及关系式 $|x - a| < b \Leftrightarrow a - b < x < a + b$ 和 $|x - a| > b \Leftrightarrow x < a - b \text{ 或 } x > a + b$ 的应用。

这个知识点的练习题

1已知函数 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递增，若实数 $m$ 满足 $f({{\log}_{3}}m)\geqslant f(1)$ ，则 $m$ 的取值范围为___.
2在同一幅图中，画出 $y = |2x + 3|$ 和 $y = -2x^2 - 8x - 3$ 的图像。（你不需要标出任何轴交点和驻点。）精确求解不等式 $|2x + 3| > -2x^2 - 8x - 3$ 。
3求 $\displaystyle \int \frac{3e^x}{5 - 0.3e^x} \, dx$ $\displaystyle \int \cos(\ln x) \, dx$ ，其中 $x > 0$ $\displaystyle \int_0^3 |2e^x - 5| \, dx$ …
4已知函数 $f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)$ ， $g(x)=\ln x$ ， $f(x)$ 图象与 $x$ 轴异于原点的交点 $M$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $g(x-1)$ 与 $x$ 轴的交点 $N$ 处的切线为…
5在同一个图上，画出满足下列条件的 $y = |2x - p|$ 和 $y = qx$ 的图像草图，标出轴交点。 * $p$ 和 $q$ 是常数， $p > 1$ 且 $q > 0$ ，以及 * 图像仅有一个交点。写出 $q$ 的最小值。解不…
6用数学归纳法证明，对于所有正整数 $n$ 以及 $x\in\mathbb{R}$ ， $x\ne 0,\ x\ne 1$ ， $\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\dots-\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x^n(x-1)}\,.$ …
7求方程 $\left|\dfrac{4x-5}{x-2}\right| = 3x$ 的精确根。在同一坐标系中，画出方程为 $y = \left|\frac{4x-5}{x-2}\right|$ 和 $y = 3x$ 的曲线草图。并由此求不…
8一位室内设计师正计划设计一个下拉式衣柜升降机。为了测试他的设想，设计师制作了一个它的微缩模型。在这个模型中，点 $(x, y, z)$ 是相对于模型的一个拐角 $O(0, 0, 0)$ 来定义的。模型中使用的杆可以用直线方程来建模。主杆可…
9点 $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(0, 2, 0)$ 和 $(1, 0, 2)$ ，且平面 $\pi_1$ 的方程为 $\mathbf{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 4$ …
10解不等式 $|y-5|<1$ 。由此解不等式 $|3^{x}-5|<1$ ，答案保留 3 位有效数字。
11已知集合 $A=\{x\in z||x|\leqslant 2\}$ ， $B=\left\{ x\left|\dfrac{x-2}{x+2}\leqslant 0\right.\right\}$ ，则 $(\quad)$ A. $A∩B=A$ …
12在数轴上，点 $M$ ， $N$ 表示的数分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，我们把 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 之差的绝对值叫做点 $M$ ， $N$ 之间的距离，即 $MN=|x_{1}-x_{2}|.(1)$ 已知数…
13写出常数 $A$ 和 $B$ 的值，使得对所有 $x$ 值，都有 $x - 1 = A(2x - 4) + B.$ 通过将 $x^2 - 4x + 5$ 化为配方形式，求出 $\int \frac{x - 1}{x^2 - 4x + 5}\,dx.$ …
14已知 $|\log _{a} \dfrac {3}{4}| < 1$ ，求 $a$ 的取值集合．
15函数 f 定义为 $f(x)=\ln(5-x),\; x<5$ 。求由曲线 $y=f(x)$ 以及 x 轴和 y 轴所围成的区域绕 y 轴完全旋转一周所得旋转体的体积。答案精确到两位小数。写出使得 $f(|x|)=|f(x)|$ 成立的…
16已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x\geqslant 0$ 时， $f(x)=x^{2}+x.$ 若 $f(a)$ 十 $f(-a) < 4$ ，测实数 $a$ 的取值范围为___．
17已知 $f(x)=\left|2x+1\right|+\left|x-1\right|.(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值 $m$ 及最小值 $n$ ； $(Ⅱ)$ 在 $(Ⅰ)$ 的条件下，设 $a,b\in R$ …
18四面体骰子有四个面。两个均匀的四面体骰子，一红一蓝，其四个面分别标有数字 0、1、2 和 3。投掷这两个骰子，并记录两个骰子朝下的数字。随机变量 $T$ 定义为红色骰子上的得分乘以蓝色骰子上的得分。求 $T$ 的概率分布。求 $E(T)$ …
19函数 $\mathrm{f}$ 定义为 $\mathrm{f} : x \mapsto \sqrt{5+2x}$ ，其中 $x \in \mathbb{R}$ 且 $x > -\frac{5}{2}$ 。求满足 $\mathrm{f}^2(a) = 5$ …
20已知不等式 $a+ \sqrt{3}b\leqslant \left|{x}^{2}-1\right|$ 对于满足条件 ${a}^{2}+{b}^{2}=1$ 的任意实数 $a$ ， $b$ 恒成立，实数 $x$ 的取值范围是．
21不等式|x|＞2的解集是（） A. x＞2 B. {x|x＞2} C. {x|x＞2或x＜-2} D. x＞2或x＜-2
22分别由方程 $2x+y=1$ 和 $8x+ay+z=4$ 给出的两个平面 $p_{1}$ 和 $p_{2}$ 相交于一条直线 $L$ ，该直线包含点 $A(0,1,0)$ 。证明 $a=4$ ，并由此求直线 $L$ 的向量方程。另一个点 $B$ …
23大家知道|5|=|5-0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6-3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|=|a-b|．…
24已知函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f\left(0\right)=0$ ，当 $x>0$ 时， $f\left(x\right)={{\log}_{2}}\left(x+1\right).(1)$ …
25在本题中，你应该清楚地写出你所使用的任何正态分布的参数值。苹果和梨的质量（以克为单位）分别独立服从分布 $N(260, 15^{2})$ 和 $N(210, 10^{2})$ 。某食谱需要 5 个苹果和 6 个梨。该食谱要求通过去核来处理…
26用 $a$ 表示方程 $\dfrac{1}{(x-a)^2}=|x-a|$ 的根。在同一坐标系中，画出方程为 $y=\dfrac{1}{(x-a)^2}$ 和 $y=|x-a|$ 的曲线草图，其中 $a>1$ 。由此解不等式 $\dfrac{1}{(x-a)^2}>|x-a|$ …
27解答本题时请勿使用计算器。解不等式 $\frac{6x^2 + 2x - 3}{2x - 1} \ge 2(x + 1).$ 由此，解 $\frac{6x^2 + 2|x| - 3}{2|x| - 1} \ge 2(|x| + 1)$ …
28树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
29平面 $\Pi$ 的方程为 $2x-3y+6z=7$ ，直线 $l$ 的方程为 $\mathbf{r}=8\mathbf{i}-2\mathbf{j}+8\mathbf{k}+t(3\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})$ …
30通过使用代换 $y = |x|$ ，解不等式 $\frac{|x|+3}{x^2+1} > 1$ 。
31画出方程为 $y = \frac{x-2}{x-1}$ 的曲线 $C$ 的草图，写出其与坐标轴的交点的精确坐标以及所有渐近线的方程。通过在草图中添加一条直线，解不等式 $\frac{x-2}{x-1} \le 2-x$ 。由此，解不等式…
32图示为 $y = |a - bx|$ 和 $y = |mx - 6|$ 的图像，其中 $a$ 、 $b$ 和 $m$ 是正常数。 $y = |a - bx|$ 的图像与 $x$ 轴交于点 $\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ …
33为了构建虚拟现实（VR）体验，需要创建一个包含几何模型的虚拟世界。以原点 $O$ 为基准，虚拟世界中的每个点都表示为坐标 $(x, y, z)$ 。透视投影是一种将虚拟世界中的点投影到虚拟屏幕上，同时保持物体在不同距离下的缩放特性的技术。在…
34第一部分：纯粹数学 [40分] 在同一坐标轴上画出 $y = 3x$ 和 $y = |x^2 - a^2|$ 的图象，其中 $a > 0$ 。求 $|x^2 - a^2| = 3x$ 在 $0 < x < a$ 范围内的准确解。
35写出将方程为 $y^{2}-x^{2}=1$ 的曲线变换为方程为 $9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0.$ 的曲线的一系列变换步骤。曲线 $C$ 的方程为 $9y^{2}-54y - x^{2} - 2x + 79 = 0.$ …
36 $f(x)$ 是定义在 $[-2,2]$ 上的偶函数，且 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调递减，若 $f(1-m) < f(m)$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围 ___ ．
37平面 $\pi_1$ 的方程为 $\mathbf{r}\cdot\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 1\end{pmatrix}=11.$ 平面 $\pi_2$ 经过点 $A(1,-1,2),\; B(2,3,4)$ 和…
38已知点P的坐标为（2-a，3a+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则a= ．
39已知 $a \in \mathbb{R}$ 且 $a > 1$ ，利用代数方法求解不等式 $\frac{ax - a + 2}{(x - a)(1 - x)} \le 1 .$ 由此求出满足 $\frac{a|x| - a + 2}{(|x| - a)(1 - |x|)} \le 1$ …
40已知 $a$ 和 $b$ 都是正数常数，在同一幅图上，草拟以下函数的图像： $y = \frac{2}{|x - a|} \quad \text{and} \quad y = b|x - a|.$ 由此或通过其他方法，解不等式 $\frac{2}{|x - a|} > b|x - a|$ …
41设集合S={x||x|＜5}，T={x|（x+7）（x-3）＜0}．则S∩T=（） A. {x|-7＜x＜5 } B. {x|3＜x＜5 } C. {x|-5＜x＜3 } D. {x|-7＜x＜-5 }
42关于x的方程||x-2|-1|=a恰有三个整数解，则a的值为．
43已知实数 $a > 0$ ，设函数 $f(x)=\left|x+ \dfrac{1}{a}\right|+\left|x-a\right|$ ． $($ Ⅰ $)$ 证明： $f(x)\geqslant 2$ ； $($ Ⅱ $)$ …
44直线 $l$ 的方程为 $1 - x = \frac{z - \alpha}{2}, y = 1$ ，其中 $\alpha$ 为常数。已知直线 $l$ 与 $yz$ 平面的交点为 $(0, 1, 5)$ ，证明 $\alpha = 3$ 。以…
45若|x-3|=2，则x的值为．
46平面 $\Pi_1$ 的方程为 $\mathbf{r} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} + \theta(2\mathbf{j} - \mathbf{k}) + \phi(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}).$ …
47设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( ) A. {a|0≤a≤6} B. {a|a≤2，或a≥4} C. {a|a≤0，或a≥6} D. {a|2≤a≤4}
48相对于原点 $O$ ，两个点 $A$ and $B$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j}$ 和 $\mathbf{b} = \alpha \mathbf{k}$ ，其中 $\alpha$ …
49不使用计算器，解不等式 $\dfrac{4x}{x-3} \ge 1$ 。由此求满足 $\dfrac{4|x|}{|x|-3} \ge 1$ 的 $x$ 的取值范围。
50设全集为 $R$ ， $A=\{x|x^{2}-5x-6>0\}$ ， $B=\{x||x-5|< a\}(a$ 为常数 $)$ ， $11\in B$ ，则 $(\quad)$ A. $(∁_{R}A)∪B=R$ B. $A∪(∁_{R}B)=R$ …
51在本题中， $k$ 是一个正常数。利用代数方法求解不等式 $\frac{2x^2 - 2k^2}{x} < x + k$ 。用 $k$ 表示你的答案。由此，求不等式 $\frac{2x^2 - 10}{|x|} < |x| + \sqrt{5}$ …
52不使用计算器，求解 $1 + \frac{6}{x} \ge x$ ， $1 + \frac{6}{|x|} \ge |x|$ 。
53设不等式 $\left|{{4}^{x}}-a\right|>\left|1-{{2}^{x\text{+3}}}\right|$ 对所有 $x\in[1,2]$ 均成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$ A. $a< -15$ …
54在不使用计算器的情况下，解不等式 $\frac{(x^2 - 2x + 4)(x - 3)}{(x + 2)} \ge 0.$ 由此解不等式 $\frac{(x^2 - 2|x| + 4)(|x| - 3)}{(|x| + 2)} \ge 0.$ …
55在不使用计算器的情况下，解不等式 $\frac{3x^2 + 1}{2x^2 + 3x - 2} > 1$ 。由此，解不等式 $\frac{3x^2 + 1}{2x^2 + 3|x| - 2} > 1$ 。
56在同一坐标系中，画出方程为 $y = \ln(x-2)$ 和 $y = \frac{1}{\text{e}^x} + 3$ 的曲线草图，并写出渐近线的方程。由此，解不等式 $\frac{1}{\text{e}^x} + 3 \ge \ln(x-2)$ …
57在一个小镇上，有两家诊所，李氏诊所（Lee's Clinic）和希望诊所（Hope Clinic）。在李氏诊所，患者的等待时间服从均值为 25 分钟、标准差为 8 分钟的正态分布。希望诊所患者的等待时间服从均值为 37 分钟、标准差为 4…
58通过换元 $y = |x|$ ，解不等式 $\frac{|x| + 3}{x^2 + 1} > 1$ 。
59证明 $\frac{3}{2r-1} - \frac{4}{2r+1} + \frac{1}{2r+3} = \frac{8r+20}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)}$ 。由此证明 $\sum_{r=1}^{n} \frac{2r+5}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)} = \frac{2}{3} - \frac{n+2}{(2n+1)(2n+3)}$ …
60平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 的方程分别为 $\mathbf{r} \cdot (\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}) = 4$ 和 $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} + \lambda(-\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) + \mu(4\mathbf{i} + \mathbf{j})$ …