在数轴上，点$M$，$N$表示的数分别是$x_{1}$，$x_{2}$，我们把$x_{1}$，$x_{2}$之差的绝对值叫做点$M$，$N$之间的距离，即$MN=|x_{1}-x_{2}|.(1)$已知数轴上三点$A$，$O$，$B$表示的数分别为$-6$，$0$，$2$，点$P$为数轴上任意一点，其表示的数为$x$；①如果点$P$到点$A$，点$B$的距离相等，那么$x=$；②若$|x+6|+|x-2|=10$，则$x=$；③若点$P$以每秒$3$个单位长度的速度从点$O$沿着数轴的负方向运动时，点$E$以每秒$1$个单位长度的速度从点$A$沿着数轴的负方向运动，点$F$以每秒$4$个单位长度的速度从点$B$沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，求运动多少秒时，点$P$到点$E$，点$F$的距离相等． (2)写出所有符合$|2x+5|+|2x-3|=8$的整数$x$的值 ___.

1. 利用中点公式或绝对值等式求解点P表示的数x

根据题意，点 $P$ 到点 $A(-6)$ 和点 $B(2)$ 的距离相等，说明点 $P$ 是线段 $AB$ 的中点。
根据中点公式，点 $P$ 表示的数为：
$x = \frac{-6 + 2}{2} = -2$

1. 分区间讨论去掉绝对值符号并求解

已知方程为 $|x+6|+|x-2|=10$。
分三种情况讨论：

1. 当 $x < -6$ 时，原方程化为：
   $-(x+6) - (x-2) = 10 \implies -2x - 4 = 10 \implies x = -7$
   经检验，$-7 < -6$，符合题意；

2. 当 $-6 \le x \le 2$ 时，原方程化为：
   $(x+6) - (x-2) = 10 \implies 8 = 10$
   此时方程无解；

3. 当 $x > 2$ 时，原方程化为：
   $(x+6) + (x-2) = 10 \implies 2x + 4 = 10 \implies x = 3$
   经检验，$3 > 2$，符合题意。

综上所述，$x = -7$ 或 $x = 3$。

1. 用含时间 t 的代数式表示动点的位置

设运动时间为 $t$ 秒 ($t > 0$)。
点 $P$ 从 $O(0)$ 出发向负方向运动，速度为 3，其位置为：$-3t$；
点 $E$ 从 $A(-6)$ 出发向负方向运动，速度为 1，其位置为：$-6 - t$；
点 $F$ 从 $B(2)$ 出发向负方向运动，速度为 4，其位置为：$2 - 4t$。

2. 根据距离相等建立绝对值方程并求解 t

由于点 $P$ 到点 $E$ 和点 $F$ 的距离相等，所以有：
$|-3t - (-6 - t)| = |-3t - (2 - 4t)|$
化简得：
$|-2t + 6| = |t - 2|$
根据绝对值的性质可得：

1. $-2t + 6 = t - 2 \implies 3t = 8 \implies t = \frac{8}{3}$；
2. $-2t + 6 = -(t - 2) \implies -2t + 6 = -t + 2 \implies t = 4$。
   因为 $t = \frac{8}{3} > 0$ 且 $t = 4 > 0$，所以运动时间为 $\frac{8}{3}$ 秒或 $4$ 秒。

1. 利用绝对值的几何意义确定 2x 的取值范围

方程 $|2x+5|+|2x-3|=8$ 表示数轴上代表 $2x$ 的点到 $-5$ 和 $3$ 的距离之和等于 $8$。
由于 $-5$ 到 $3$ 的距离为 $|3 - (-5)| = 8$，
根据绝对值的几何意义，代表 $2x$ 的点必须落在线段 $[-5, 3]$ 上（含端点），即：
$-5 \le 2x \le 3$

2. 解出 x 的取值范围并寻找所有整数解

由 $-5 \le 2x \le 3$ 可得：
$-2.5 \le x \le 1.5$
因为 $x$ 必须为整数，所以在 $[-2.5, 1.5]$ 之间的整数有：$-2, -1, 0, 1$。