已知函数$f\left(x\right)$是定义在$R$上的偶函数，且$f\left(0\right)=0$，当$x>0$时，$f\left(x\right)={{\log}_{2}}\left(x+1\right).(1)$求函数$f\left(x\right)$的解析式； (2)解不等式$f\left(x+2\right)>3$； (3)记函数$g\left(x\right)={{\left(\dfrac{1}{2}\right)}^{f\left(x\right)}}$，试讨论函数$g\left(x\right)$的单调性．

1. 设出 $x < 0$ 并利用自变量转化

当 $x < 0$ 时，$-x > 0$，
因为当 $x > 0$ 时，$f(x) = \log_2(x+1)$，
所以 $f(-x) = \log_2(-x+1)$．

2. 利用偶函数性质求得 $x < 0$ 时的解析式

因为函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，
所以 $f(x) = f(-x)$，
从而当 $x < 0$ 时，$f(x) = \log_2(1-x)$．

3. 整合各区间得到完整解析式

结合 $f(0) = 0$ 和 $x > 0$ 时的解析式，可得：
$f(x) = \begin{cases} \log_2(x+1), & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ \log_2(1-x), & x < 0 \end{cases}$
或者写成统一形式：$f(x) = \log_2(|x|+1), x \in \mathbb{R}$．

1. 将不等式转化为关于绝对值的不等式

由 (1) 可知 $f(x) = \log_2(|x|+1)$，
因此不等式 $f(x+2) > 3$ 可化为 $\log_2(|x+2|+1) > 3$．

2. 利用对数函数的单调性脱去对数符号

因为 $3 = \log_2 8$，且底数 $2 > 1$，对数函数 $y = \log_2 u$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，
所以 $|x+2|+1 > 8$，即 $|x+2| > 7$．

3. 解绝对值不等式求得解集

由 $|x+2| > 7$ 可得 $x+2 > 7$ 或 $x+2 < -7$，
解得 $x > 5$ 或 $x < -9$．
所以原不等式的解集为 $(-\infty, -9) \cup (5, +\infty)$．

1. 引入中间变量，将复合函数拆解

设 $t = f(x)$，则 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^t$．

2. 分析内层函数 $t = f(x)$ 的单调性

因为 $f(x)$ 是偶函数，且当 $x > 0$ 时 $f(x) = \log_2(x+1)$ 是单调递增的，
所以 $t = f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增，在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减．

3. 分析外层函数的单调性

因为外层函数 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^t$ 的底数 $0 < \dfrac{1}{2} < 1$，
所以 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^t$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减．

4. 根据复合函数单调性法则确定 $g(x)$ 的单调区间

由复合函数“同增异减”的单调性规律可得：
在 $(-\infty, 0)$ 上，内层函数单调递减，外层函数单调递减，故 $g(x)$ 单调递增；
在 $(0, +\infty)$ 上，内层函数单调递增，外层函数单调递减，故 $g(x)$ 单调递减．
综上，函数 $g(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, 0]$，单调递减区间为 $[0, +\infty)$．