已知实数$a > 0$，设函数$f(x)=\left|x+ \dfrac{1}{a}\right|+\left|x-a\right|$． $($Ⅰ$)$证明：$f(x)\geqslant 2$； $($Ⅱ$)$若$f(3)\leqslant 5$，求$a$的取值范围．

1. 利用绝对值三角不等式放缩 $f(x)$

根据绝对值三角不等式 $|u| + |v| \geqslant |u + v|$：
$f(x) = \left|x + \dfrac{1}{a}\right| + |x - a| = \left|x + \dfrac{1}{a}\right| + |a - x| \geqslant \left|\left(x + \dfrac{1}{a}\right) + (a - x)\right| = \left|a + \dfrac{1}{a}\right|$
因为 $a > 0$，所以 $a + \dfrac{1}{a} > 0$，即 $f(x) \geqslant a + \dfrac{1}{a}$。

2. 利用基本不等式证明最小值大于等于 2

因为 $a > 0$，根据基本不等式可得：
$a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\sqrt{a \cdot \dfrac{1}{a}} = 2$
当且仅当 $a = \dfrac{1}{a}$ 即 $a = 1$ 时等号成立。
因此 $f(x) \geqslant a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2$，命题得证。

1. 代入 $x = 3$ 并化简绝对值表达式

代入 $x = 3$ 得：
$f(3) = \left|3 + \dfrac{1}{a}\right| + |3 - a|$
因为 $a > 0$，所以 $3 + \dfrac{1}{a} > 0$，去绝对值符号得：
$f(3) = 3 + \dfrac{1}{a} + |3 - a| \leqslant 5 \iff \dfrac{1}{a} + |3 - a| \leqslant 2$

2. 分区间讨论去掉绝对值并解一元二次不等式

① 当 $0 < a \leqslant 3$ 时，$|3 - a| = 3 - a$，原不等式化为：
$\dfrac{1}{a} + 3 - a \leqslant 2 \iff \dfrac{1 - a^2 + a}{a} \leqslant 0$
因为 $a > 0$，两边同乘 $a$ 整理得 $a^2 - a - 1 \geqslant 0$。
解得 $a \geqslant \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 或 $a \leqslant \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$（舍去）。
结合 $0 < a \leqslant 3$，可得 $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \leqslant a \leqslant 3$。

② 当 $a > 3$ 时，$|3 - a| = a - 3$，原不等式化为：
$\dfrac{1}{a} + a - 3 \leqslant 2 \iff \dfrac{a^2 - 5a + 1}{a} \leqslant 0$
因为 $a > 0$，得 $a^2 - 5a + 1 \leqslant 0$。
解得 $\dfrac{5 - \sqrt{21}}{2} \leqslant a \leqslant \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$。
结合 $a > 3$，可得 $3 < a \leqslant \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$。

3. 合并两种情况得出 $a$ 的取值范围

综合上述两种情况，取并集可得 $a$ 的取值范围为：
$\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \leqslant a \leqslant \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$