若$1\leqslant x\leqslant 3\leqslant y\leqslant 5$，则$(\quad)$

A. $4\leqslant x+y\leqslant 8$

B. $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y}$的最小值为$10$

C. $-2\leqslant x-y\leqslant 0$

D. $(x+\dfrac{1}{y})(y+\dfrac{4}{x})$的最小值为$9$

1. 确定 $x$ 和 $y$ 的取值范围，并分析 A、C 两个选项。

由已知 $1\leqslant x\leqslant 3\leqslant y\leqslant 5$，可得：
$1\leqslant x\leqslant 3$ 且 $3\leqslant y\leqslant 5$。

对于 A 选项：
将两个不等式同向相加得到：
$1+3 \leqslant x+y \leqslant 3+5 \implies 4\leqslant x+y\leqslant 8$，故 A 正确；

对于 C 选项：
由 $3\leqslant y\leqslant 5$ 可得 $-5\leqslant -y\leqslant -3$。
将 $1\leqslant x\leqslant 3$ 与 $-5\leqslant -y\leqslant -3$ 相加得到：
$1-5 \leqslant x-y \leqslant 3-3 \implies -4\leqslant x-y\leqslant 0$，故 C 错误。

2. 分析 B 选项，求代数式 $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y}$ 的最小值并验证等号成立条件。

对代数式进行分组：
$x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y} = \left(x+\dfrac{1}{x}\right) + \left(y+\dfrac{16}{y}\right)$
因为 $1\leqslant x\leqslant 3$，$3\leqslant y\leqslant 5$，根据基本不等式有：
$x+\dfrac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}} = 2$
当且仅当 $x = \dfrac{1}{x}$，即 $x=1$ 时等号成立，且 $1 \in [1, 3]$；
$y+\dfrac{16}{y} \geqslant 2\sqrt{y \cdot \dfrac{16}{y}} = 8$
当且仅当 $y = \dfrac{16}{y}$，即 $y=4$ 时等号成立，且 $4 \in [3, 5]$。

由于两个等号成立的条件 $x=1$ 和 $y=4$ 可以同时满足，
所以 $x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{16}{y}$ 的最小值为 $2 + 8 = 10$，故 B 正确。

3. 分析 D 选项，通过展开、基本不等式和定义域限制判断其最小值的正确性。

将代数式展开：
$\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right) = xy + \dfrac{4}{xy} + 5$
利用基本不等式，若不考虑取值范围，有：
$xy + \dfrac{4}{xy} \geqslant 2\sqrt{xy \cdot \dfrac{4}{xy}} = 4$
此时整个代数式的最小值为 $4+5=9$。
但等号成立的条件是 $xy = \dfrac{4}{xy} \implies (xy)^2 = 4 \implies xy = 2$。

然而，由于 $1\leqslant x\leqslant 3$ 且 $3\leqslant y\leqslant 5$，可得 $xy$ 的取值范围为 $[3, 15]$。
因为 $2 \notin [3, 15]$，所以 $xy=2$ 无法取得，即等号不能成立。
因此，最小值的取值应在 $xy=3$ 时取得，其最小值大于 $9$，故 D 错误。

综上所述，正确的选项为 AB。