已知$a^{2}-3a+1=0$，求$\dfrac {a^{2}}{3a^{4}+4a^{2}+3}=$ ___ ．

1. 由已知等式求出 $a + \frac{1}{a}$ 的值

已知 $a^2 - 3a + 1 = 0$。
若 $a = 0$，则 $0^2 - 3(0) + 1 = 1 \neq 0$，故 $a \neq 0$。
将方程 $a^2 - 3a + 1 = 0$ 两边同时除以 $a$，得：
$a - 3 + \frac{1}{a} = 0$
移项得：
$a + \frac{1}{a} = 3$

2. 利用完全平方公式求出 $a^2 + \frac{1}{a^2}$ 的值

利用完全平方公式的变形：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 - 2$
将 $a + \frac{1}{a} = 3$ 代入，得：
$a^2 + \frac{1}{a^2} = 3^2 - 2 = 7$

3. 对目标代数式进行变形，使其便于整体代入

将目标代数式 $\dfrac{a^2}{3a^4+4a^2+3}$ 的分子、分母同时除以 $a^2$：
$\frac{a^2}{3a^4+4a^2+3} = \frac{1}{3a^2 + 4 + \frac{3}{a^2}} = \frac{1}{3\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) + 4}$

4. 将中间值代入求出最终结果

将 $a^2 + \frac{1}{a^2} = 7$ 代入变形后的式子中：
$\text{原式} = \frac{1}{3 \times 7 + 4} = \frac{1}{21 + 4} = \frac{1}{25}$