已知$\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}$是一元二次方程$\mathbf{4}\mathbf{k}\mathbf{x}^{\mathbf{2}}\mathbf{-4}\mathbf{kx+k+1=0}$的两个实数根． (1)求实数$k$的取值范围； (2)求使$\dfrac{x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}-2$的值为整数的实数$k$的整数值．

1. 确定方程为一元二次方程的隐含条件

根据题意，方程 $4kx^2 - 4kx + k + 1 = 0$ 是一元二次方程，其二次项系数不能为 $0$：
$4k \neq 0 \implies k \neq 0$

2. 利用根的判别式列出不等式

由于方程有两个实数根，所以根的判别式 $\Delta \ge 0$：
$\Delta = (-4k)^2 - 4 \times 4k \times (k + 1) \ge 0$

3. 求解不等式并确定 $k$ 的取值范围

化简判别式：
$16k^2 - 16k^2 - 16k \ge 0 \implies -16k \ge 0 \implies k \le 0$
结合 $k \neq 0$，求得 $k$ 的取值范围为：
$k < 0$

1. 利用韦达定理写出两根之和与两根之积

由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）可知：
$x_1 + x_2 = -\frac{-4k}{4k} = 1$
$x_1 x_2 = \frac{k+1}{4k}$

2. 将待求代数式用两根之和与两根之积表示并化简

对原式进行化简：
$\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} - 2 = \dfrac{x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2}{x_1 x_2} - 4$
代入 $x_1 + x_2 = 1$ 和 $x_1 x_2 = \dfrac{k+1}{4k}$ 得：
$\dfrac{1}{\frac{k+1}{4k}} - 4 = \dfrac{4k}{k+1} - 4 = \dfrac{4k - 4(k+1)}{k+1} = -\dfrac{4}{k+1}$

3. 根据整除性质和 $k$ 的范围求出 $k$ 的整数值

要使 $-\dfrac{4}{k+1}$ 的值为整数，且 $k$ 为整数，则 $k+1$ 必须是 $-4$ 的因数。
因此，$k+1$ 的可能取值为：$\pm 1, \pm 2, \pm 4$。
分别计算对应的 $k$：

• 若 $k+1 = 1 \implies k = 0$（不合题意，舍去）
• 若 $k+1 = -1 \implies k = -2$
• 若 $k+1 = 2 \implies k = 1$（不合题意，舍去）
• 若 $k+1 = -2 \implies k = -3$
• 若 $k+1 = 4 \implies k = 3$（不合题意，舍去）
• 若 $k+1 = -4 \implies k = -5$

又由 (1) 知 $k < 0$，所以符合题意的实数 $k$ 的整数值为：
$k = -2, -3, -5$