已知实数 $x$ 的两个平方根分别为 $2a+1$ 和 $3-4a$ ，实数 $y$ 的立方根为 $-a$ ，求 $\sqrt {x+2y}$ 的值．

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完整解法

1. 根据平方根的性质列出关于 $a$ 的一元一次方程并求解 $a$

一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为 $0$ ．
根据题意得：
$(2a+1) + (3-4a) = 0$
合并同类项，得：
$4 - 2a = 0$
解得：
$a = 2$

2. 求出实数 $x$ 的值

当 $a = 2$ 时，平方根为：
$2a + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5$
（或 $3 - 4a = 3 - 4 \times 2 = -5$ ）
因为实数 $x$ 的平方根为 $\pm 5$ ，所以：
$x = 5^2 = 25$

3. 求出实数 $y$ 的值

实数 $y$ 的立方根为 $-a$ ．
因为 $a = 2$ ，所以立方根为 $-2$ ．
根据立方根的定义，得：
$y = (-2)^3 = -8$

4. 代入求出目标算术平方根的值

将 $x = 25$ ， $y = -8$ 代入待求式：
$\sqrt{x+2y} = \sqrt{25 + 2 \times (-8)}$
$= \sqrt{25 - 16}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

答案

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