设f(x)f(x)为定义在RR上的奇函数,当x⩾0x\geqslant 0时,f(x)=2x+2x+2017+a(af(x)={{2}^{x}}+2x+2017+a(a为常数)),则f(−1)=()f(-1)=()
A. 33
B. 11
C. −3-3
D. −1-1

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完整解法

1. 利用奇函数在原点处的性质 $f(0)=0$ 求出参数 $a$ 的值

因为 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbb{R} 上的奇函数,所以 f(0)=0f(0)=0。
当 x⩾0x \geqslant 0 时,解析式为 f(x)=2x+2x+2017+af(x) = 2^x + 2x + 2017 + a。
代入 x=0x=0,得:
f(0)=20+2×0+2017+a=1+2017+a=2018+a=0f(0) = 2^0 + 2 \times 0 + 2017 + a = 1 + 2017 + a = 2018 + a = 0
解得:
a=−2018a = -2018
因此,当 x⩾0x \geqslant 0 时,函数的解析式为:
f(x)=2x+2x−1f(x) = 2^x + 2x - 1

2. 计算 $f(1)$ 的值

因为 1⩾01 \geqslant 0,代入 x=1x=1 的解析式得:
f(1)=21+2×1−1=2+2−1=3f(1) = 2^1 + 2 \times 1 - 1 = 2 + 2 - 1 = 3

3. 利用奇函数性质求 $f(-1)$ 的值并选出正确答案

由于 f(x)f(x) 为奇函数,则满足 f(−1)=−f(1)f(-1) = -f(1)。
代入 f(1)=3f(1)=3,得:
f(−1)=−3f(-1) = -3
对照选项,C项符合。
故选C。

答案

C

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