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导数的几何意义

将 $f(x)$ 的导数作为曲线 $y = f(x)$ 在某点处切线的斜率

这个知识点的练习题

1已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
2曲线 $y = 2\tan 3x - 1$ 在点 $P\left(\frac{\pi}{3}, -1\right)$ 处的法线交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ 。求三角形 $AOB$ 的精确面积。
3点 $P$ 在曲线 $y = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ （ $x > 1$ ）上。该曲线在点 $P$ 处的法线平行于直线 $2y = 3x + 2$ 。曲线在点 $P$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $Q$ 。求…
4图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
5图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
6已知函数 $f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)$ ， $g(x)=\ln x$ ， $f(x)$ 图象与 $x$ 轴异于原点的交点 $M$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $g(x-1)$ 与 $x$ 轴的交点 $N$ 处的切线为…
7图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
8曲线 $y = f(x)$ 的斜率函数由 $\frac{36}{(2x+1)^2}$ 给出，其中 $x > -\frac{1}{2}$ 。曲线过点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 。求该曲线的方程。求曲线在 $x = 1$ …
9当容器中液体的高度为 $h$ m时，液体的体积为 $V\text{ m}^3$ ，其中 $V = 0.06 \left[ (4h + 1)^3 - 7 \right] \text{ 且 } h \ge 0.25$ 求 $\frac{\text{d}V}{\text{d}h}$ …
10曲线 $y=\sqrt{3x-2}$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 A. $x-2y+1=0$ B. $3x-y-2=0$ C. $3x-2y-1=0$ D. $3x+2y-5=0$
11若曲线 $y=x^{\mathrm{{-}}\frac{1}{2}}$ 在点 $(a,a^{\mathrm{{-}}\frac{1}{2}})$ 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 $18$ ，则 $a$ 的值为___.
12如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
13已知曲线 $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{3}$ ，且该曲线在点 $P\left(\ln 2, \frac{55}{24}\right)$ 处的法线与 $y$ 轴交…
14下图显示了 $y = \frac{1}{2x+1}$ 的图像以及该曲线在其与 $y$ 轴交点处的切线。求切线的方程。计算阴影区域的面积。
15图中显示了曲线 $y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1$ 的一部分。 $P$ 是曲线上 $x = 6$ 的点。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ …
16点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
17图中显示了曲线 $y = \sin x$ 的一部分。 A 是曲线上的一个点，且在直线 $x = \frac{\pi}{3}$ 上。直线 AC 垂直于 x 轴。若曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B，求 A 和 B 的确切坐标。 D…
18图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
19图中显示了曲线 $y = e^{x-1} - 2$ 的一部分。点 $P(2,\ e-2)$ 在该曲线上，且曲线在点 $P$ 处的法线交 $x$ 轴于点 $Q$ 。用 $e$ 表示点 $Q$ 的 $x$ 坐标。求阴影区域的总面积。
20图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
21一条曲线满足 $\frac{d^2y}{dx^2} = 6e^{3x} - x$ 且经过点 $\left(2, \frac{2}{3}e^6\right)$ 。已知当 $x = 0$ 时 $\frac{dy}{dx} = 5$ ，求该曲线的方…
22曲线方程为 $y = \frac{5x}{6 - 2x}$ 。求曲线斜率为 7.5 的点的 $x$ 坐标。
23该图显示了曲线 $y = -3(2x-4)^{-1/3}$ 的一部分。点 $P(-2,\ 1.5)$ 位于该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由该曲线、法线 $PQ$ 和坐标轴围成的阴…
24图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
25该图显示了曲线 $y = 2 \sin 2x + 1$ 的一部分。 $P$ 是该曲线的最高点，而 $Q$ 是曲线上切线斜率为 $-4$ 的点。求 $P$ 和 $Q$ 的坐标。求由曲线、坐标轴、直线 $PQ$ 和垂直线 $QR$ 围成的阴影…
26若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标为 ___ ．
27点 $P$ 在曲线 $y = \frac{kx^2}{\sqrt{2-x}}$ 上，其中 $k$ 是常数。 $P$ 的 $x$ 坐标为 $-2$ 。已知 $P$ 点处的法线斜率为 $\frac{1}{7}$ ，求证 $k = 4$ 。点 $P$ …
28图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
29已知函数定义为 $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 6}$ ， $x > 0$ 。请写出计算过程，并解释 $g(x)$ 是单调递增函数还是单调递减函数。点 $P$ 沿曲线 $g(x)$ 运动，使得 $P$ 的 $y$ 坐…
30图中显示了曲线 $y = 27 + \frac{8}{(x-2)^3}$ 的一部分，该曲线与坐标轴交于点 $A$ 和点 $B$ 。解释为什么该曲线没有驻点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。求曲线在点 $B$ 处的法线方程。曲线在点 $B$ …
31图中显示了曲线 $y = 2\sin\frac{x}{2}$ 的一部分，其中点 $A$ 在该曲线上。点 $A$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{4\pi}{3}$ ，曲线在点 $A$ 处的法线与 $x$ 轴交于 $B$ 点，与 $y$ 轴…
32设曲线 $f(x)=ax^{2}$ 在点 $(2,4a)$ 处的切线与直线 $4x-y+4=0$ 垂直，则 $a=(\quad)$ A. $2$ B. $-\dfrac{1}{16}$ C. $\dfrac{1}{2}$ D.…
33已知曲线 $y=\dfrac{|x|}{{{e}^{x}}}$ 在 $x=-1$ 处的切线和它在 $x={{x}_{0}}\left({x}_{0} > 0\right)$ 处的切线互相垂直，设 ${{x}_{0}}\in (\dfrac{m}{4},\dfrac{m+1}{4}),m\in Z$ …
34直线 $2y + x + a = 0$ 是曲线 $y = 2x^2 - 3x + 1$ 在点 $P$ 处的法线。求点 $P$ 的坐标。确定 $a$ 的值。
35设函数 $f(x)=ax+ \dfrac {b}{x}$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $M( \sqrt {3},f( \sqrt {3}))$ 处的切线方程为 $2x-3y+2 \sqrt {3}=0$ ． $($ Ⅰ $)$ 求 $f(x)$ …
36回答所有问题。函数 $f$ 对所有 $x$ 的值定义为 $f(x) = (2x - x^2)e^x$ 。求 $x$ 的取值范围，使得 $f(x)$ 为递减函数。曲线的斜率函数为 $2(p + 1)x + 2$ ，其中 $p$ 为常…
37该图显示了曲线 $y = \frac{7}{6x + 1}$ 的一部分与 $y$ 轴交于点 $A(0, 7)$ 。在点 $K(1, 1)$ 处的曲线切线与 $y$ 轴相交于点 $B$ 。求 $B$ 的坐标。求由曲线、切线 $KB$ 和 $y$ …
38一条曲线满足 $\mathrm{f}''(x) = 6x - 10$ 。曲线 $y = \mathrm{f}(x)$ 在点 $(1, -2)$ 处的切线通过点 $(0, 13)$ 。求该曲线的方程。
39求使曲线 $y = -x^2 + 2x + 4$ 位于另一条曲线 $y = x^2 - 2x - 2$ 下方的 $x$ 的取值集合，并在数轴上表示该集合。直线 $y = 2x + k$ 是曲线 $y = -x^2 + 2x + 4$ 在点…
40设函数 $f(x)=\ln x$ ， $g(x)=\dfrac{x}{x+1}$ ，记 $F(x)=f(x)-g(x)(1)$ 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=e$ 处的切线方程； (2)求函数 $F(x)$ 在 $[\dfrac{1}{e},e^{2}]$ …
41设函数 $f(x)=x\ln\:x+2x^{3}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程是___.
42已知函数 $f(x)= \dfrac {ax}{e^{x}}$ 在 $x=0$ 处的切线方程为 $y=x$ ． (1)求 $a$ 的值； (2)若对任意的 $x∈(0,2)$ ，都有 $\dfrac {1}{f(x)} > k+2x-x^{2}$ …
43曲线方程为 $y = \frac{x}{e^{2x}}$ 。求 $\frac{dy}{dx}$ 的表达式。已知 $x$ 以 $0.18$ 单位/秒的恒定变化率变化，求当 $x = 1$ 时 $y$ 的变化率。解释该曲线是否具有多于一个驻…
44下图显示了 $y = 2\sqrt{2 + x}$ 图象的一部分。它交 x 轴于 $(-2,0)$ 。直线 $y = 2x$ 与该曲线交于 $P$ 点。曲线在 $P$ 点的法线交 x 轴于 $R$ 点。求 $R$ 的坐标。证明 $OPR$ …
45已知函数 $f(x)=m\ln x$ ． (1)讨论函数 $F(x)=f(x)+ \dfrac {1}{x}-1$ 的单调性； (2)定义：“对于在区域 $D$ 上有定义的函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ ，若满足 $f(x)\leqslant g(x)$ …
46已知 $y = (x + 2)\sqrt{x - 1}$ ，证明 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{kx}{2\sqrt{x - 1}}$ ，其中 $k$ 为常数。由此已知 $y$ 以每秒 2 个单位…
47已知某曲线满足 $\frac{\text{d}^2 y}{\text{d}x^2} = 3x - 2$ 。该曲线在点 $A(4, -40)$ 处的切线平行于直线 $3x - y = 2$ 。求该曲线的方程。
48已知函数 $f(x)=x\sin x+a\cos x+x$ ， $a∈R$ ． $($ Ⅰ $)$ 当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； $($ Ⅱ $)$ 当 $a=2$ 时，求 $f(x)$ …
49一条曲线的方程为 $y = x^2 - x - 12$ 。点 A 和 B 在该曲线上面，其 x 坐标分别为 $k$ 和 $2k$ 。求 $k$ 的取值范围，使得 $B$ 的 y 坐标小于 $A$ 的 y 坐标。解释为什么曲线在 $A$ 点处…
50曲线 $y=2x+\ln x$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\cos α+\sin α$ 的值为( ) A. $\dfrac{ \sqrt{10}}{10}$ B. $\dfrac{ \sqrt{10}}{5}$ …
51图中展示了曲线 $y = \sqrt{3x-2}$ 的一部分。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。已知点 $B$ 的 $x$ 坐标为 9，求 $A$ 点和 $C$ 点的坐标，阴影区域的面积。
52已知函数 $f(x)=e^{x}(x^{2}-2x+a)($ 其中 $a∈R$ ， $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数 $)$ ． $($ Ⅰ $)$ 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； $($ Ⅱ $)$ 设曲线 $y=f(x)$ …
53曲线 $C$ 的方程为 $y = 1 - \frac{1}{x}$ ，其中 $x \ne 0$ 。直线 $l$ 是曲线 $C$ 在 $x = a$ 处的切线，其中 $a$ 是正整数。证明直线 $l$ 的方程可以表示为 $a^2 y - x = a^2 - 2a$ …
54过点 $P(2,-1)$ 作抛物线 $C$ ： $x^{2}=2y$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则直线 $AB$ 的方程为 ___.
55图中的图象显示了曲线 $y = \sqrt{2x+5}$ 的一部分。A 是曲线上的一个点，且 A 的 x 坐标为 2。曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B。求曲线在点 A 处的法线方程。求由法线 $AB$ 、曲线、x 轴和 y 轴所…
56图示为曲线 $y = 5 + \frac{4}{e^{2x}}$ 的一部分，该曲线与 $y$ 轴交于点 $P$ 。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴交于 $Q$ 。求阴影区域的面积。
57图中显示了曲线 $y = x(x-2)^2$ 的一部分，该曲线过点 $P(1, 1)$ 。证明 $OP$ 的方程为 $y = x$ 。证明 $OP$ 是曲线在点 $P$ 处的法线。求由曲线与直线 $OP$ 所围成的阴影区域的面积。
58已知函数 $f(x)=ax^{2}+x\ln x+x$ ． (1)若 $a=1$ ，求函数 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2)若 $a=-e$ ，证明：方程 $|f(x)|-\ln x= \dfrac {1}{2}x$ …
59一条曲线的方程为 $y = 2x^3 + 6x^2 - 18x + 5$ 。求驻点的坐标并确定这些驻点的性质。求该曲线的最小斜率以及取得最小斜率时的 $x$ 值。
60过抛物线 $x^{2}=4y$ 在第一象限内的一点 $P$ 作切线，切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\dfrac {1}{2}$ ，则点 $P$ 到抛物线焦点 $F$ 的距离为 $()$ A. $1$ B. $2$ C.…