曲线 $C$ 的方程为 $y = 1 - \frac{1}{x}$，其中 $x \ne 0$。直线 $l$ 是曲线 $C$ 在 $x = a$ 处的切线，其中 $a$ 是正整数。证明直线 $l$ 的方程可以表示为 $a^2 y - x = a^2 - 2a$ 的形式。

1. 对曲线方程求导得到切线斜率，并求出切点坐标

已知曲线方程为 $y = 1 - x^{-1}$。
对 $x$ 求导得：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x^2}$
当 $x = a$ 时，切线 $l$ 的斜率为 $m = \frac{1}{a^2}$。
切点的坐标为 $\left(a, 1 - \frac{1}{a}\right)$。

2. 利用点斜式建立切线方程，并化简为目标形式

由点斜式，切线 $l$ 的方程为：
$y - \left(1 - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{a^2}(x - a)$
方程两边同乘以 $a^2$ 得：
$a^2 y - a^2\left(1 - \frac{1}{a}\right) = x - a$
$a^2 y - (a^2 - a) = x - a$
$a^2 y - x = a^2 - 2a$
证毕。

1. 利用平行线斜率相等的条件求解 $a$ 的值

将直线 $9y - x = 1$ 改写为斜截式 $y = \frac{1}{9}x + \frac{1}{9}$，可知其斜率为 $\frac{1}{9}$。
切线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{a^2}$。
因为切线 $l$ 与该直线平行，所以它们的斜率相等：
$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{9} \implies a^2 = 9$
解得 $a = 3$ 或 $a = -3$。
由于 $a$ 为正整数，舍去 $a = -3$，得 $a = 3$。

2. 复用 (a) 的结论求出切线 $l$ 的具体方程

将 $a = 3$ 代入 (a) 中求得的切线方程 $a^2 y - x = a^2 - 2a$：
$3^2 y - x = 3^2 - 2(3)$
$9y - x = 3$
（或化为 $y = \frac{1}{9}x + \frac{1}{3}$）。