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平行与垂直

两直线平行或垂直的条件

这个知识点的练习题

1已知一条曲线的方程为 $y = \frac{2x - 3}{3x + 4}$ ，其中 $x \ne -\frac{4}{3}$ 。曲线在点 $P$ （其中 $x > 0$ ）处的法线平行于直线 $y = -\frac{25}{17}x + 2$ 。…
2曲线 $y = 2\tan 3x - 1$ 在点 $P\left(\frac{\pi}{3}, -1\right)$ 处的法线交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ 。求三角形 $AOB$ 的精确面积。
3点 $P$ 在曲线 $y = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ （ $x > 1$ ）上。该曲线在点 $P$ 处的法线平行于直线 $2y = 3x + 2$ 。曲线在点 $P$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $Q$ 。求…
4图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
5图示为曲线 $y = 3e^{-\frac{1}{2}x} - 6$ 的一部分，该曲线与 $x$ 轴相交于点 $P$ ，与 $y$ 轴相交于点 $Q$ 。曲线在点 $Q$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $R$ 。求法线的方程，阴影区域的面积。
6已知函数 $f(x)=x^{2}-ax(a\neq 0)$ ， $g(x)=\ln x$ ， $f(x)$ 图象与 $x$ 轴异于原点的交点 $M$ 处的切线为 $l_{1}$ ， $g(x-1)$ 与 $x$ 轴的交点 $N$ 处的切线为…
7圆的方程为 $x^2 + y^2 + 8x - 20y - 53 = 0$ 。求圆的半径以及圆心的坐标。求圆在点 $P(1, -2)$ 处的切线方程。点 $Q(9, 10)$ 在该圆上。解释为什么圆在 $Q$ 点处的切线平行于 $y$ …
8一圆心为 O 的圆穿过点 P(-1,7) 和 Q(0,8)。阐述 PQ 的垂直平分线与点 O 之间的关系。已知直线 $y=2x-2$ 穿过该圆的圆心，求 O 的坐标。由此求该圆的方程。
9两个点 $A(-3, -6)$ 和 $B(7, -6)$ 位于圆心为 $G$ 的圆上。在点 $Q(1, -12)$ 处该圆的切线方程为 $x + 5y + 59 = 0$ 。证明 $G$ 的坐标为 $(2, -7)$ 。求该圆的方程，表示为…
10图中显示了曲线 $y = \sqrt{3x + 4}$ 的一部分。直线 $AB$ 在点 $A$ 处与曲线相切。点 $B$ 和 $C$ 位于 $x$ 轴上，且 $C$ 是曲线上的一个点。已知该曲线在点 $A$ 处的切线斜率为 $\frac{3}{2}$ …
11圆 $C_1$ 的方程由 $x^2 + y^2 - 4x - 8y = 0$ 给出。求 $C_1$ 的圆心坐标和半径。点 $A\ (0,8)$ 在圆 $C_1$ 上。求圆 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线方程。将圆 $C_1$ 关…
12若直线 $\begin{cases}{x=1-t}\\ {y=2+3t}\end{cases}(t$ 为参数 $)$ 与直线 $y=kx-1$ 平行，则常数 $k=(\quad)$ A. $-3$ B. $-\dfrac{1}{3}$ …
13A(1, 7) 和 B(9, 7) 位于圆心为 P 的圆 $C_1$ 上。直线 $4y + 3x = 31$ 是该圆的一条法线，且通过点 A。一个更大的圆 $C_2$ 与 $C_1$ 具有相同的圆心 $P$ ，其半径是 $C_1$ 半径的三…
14如图所示为曲线 $y = (1 - x)(x - 4)$ 的一部分以及两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别是曲线在点 $P$ 和 $Q$ 处的切线，斜率分别为 $2$ 和 $-2$ 。证明 $P$ 和…
15已知曲线 $y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{3}$ ，且该曲线在点 $P\left(\ln 2, \frac{55}{24}\right)$ 处的法线与 $y$ 轴交…
16下图显示了 $y = \frac{1}{2x+1}$ 的图像以及该曲线在其与 $y$ 轴交点处的切线。求切线的方程。计算阴影区域的面积。
17已知圆 $C$ ： $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 与 $x$ 轴切于 $A$ 点，与 $y$ 轴切于 $B$ 点，设劣弧 $\hat AB$ 的中点为 $M$ ，则过点 $M$ 的圆 $C$ 的切线方程是 $()$ A…
18图中显示了曲线 $y = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}x - 5\right)^2} + 1$ 的一部分。 $P$ 是曲线上 $x = 6$ 的点。曲线在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $Q$ 。求 $Q$ …
19本题不接受通过精确作图得出的解法。在梯形 $OABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(5, 0)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(-2, 6)$ 。边 $OC$ 和 $AB$ 平行，且 $BC$ 垂直于 $OC$ 。证明点 $B$ 的坐…
20点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
21通过精确作图来解答本题将不予采纳。该图（未按比例绘制）显示了一个四边形 $ABCD$ ，其顶点为 $A(-4, -6)$ 、 $B(-7, h)$ 和 $C(2, 6)$ ，而 $D$ 位于 $x$ 轴上。 $AD$ 平行于 $BC$ 。点…
22通过精确作图得出的本题解法将不被接受。图中显示了一个梯形 $ABCD$ ，其中 $AB$ 平行于 $DC$ 。点 $A$ 、 $B$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(2, 0)$ 、 $(3a, 2a+4)$ 和 $(-2, 2)$ ，其中 $a$ …
23本题不接受通过精确作图得出的解答。图中显示了一个等腰三角形 PQR，其中 $PQ = QR$ 。三角形的顶点为 P(k, 4)、Q(5, 3) 和 R(9, 10)。求 k 的值。过点 Q 作直线交 y 轴于点 S，使得 $PS = SR$ …
24图示中， $OPQR$ 是一个梯形，其中 $OP$ 平行于 $RQ$ ，且 $OP$ 垂直于 $PQ$ 。点 $P$ 的坐标为 $(-2, 6)$ ，且 $R$ 落在 $x$ 轴上。求 $OP$ 的垂直平分线的方程。已知点 $R$ 落在 $OP$ …
25点 $P$ 和 $Q$ 均在同一个圆上，它们的坐标分别为 $(-10, 15)$ 和 $(10, 0)$ 。该圆的圆心在直线 $4y = 3x + 37$ 上。点 $R$ 使得 $PR$ 是该圆的一条直径。求 $PQ$ 的垂直平分线方程。…
26直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ （其中 $a$ 和 $b$ 为正常数）与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B。连接 A 和 B 的线段的垂直平分线通过点 $P(-3,-7)$ 。证明 $a^2 + 6a = b^2 + 14b$ …
27点 $(a,b)$ 关于直线 $x+y+1=0$ 的对称点是___.
28已知三个点 $A(0,0)$ ， $B(2,0)$ ， $C(4,2)$ ，则 $\triangle ABC$ 的外心的纵坐标是 $(\quad)$ A. $\dfrac{3}{2}$ B. $3$ C. $\dfrac{5}{2}$ …
29直线 $y + 2x = 12$ 与曲线 $y = 2x^2 - 6x - 4$ 相交于两个不同的点 $A$ 和 $B$ 。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。由此，求 $AB$ 的垂直平分线方程。
30图中显示了曲线 $y = \sin x$ 的一部分。 A 是曲线上的一个点，且在直线 $x = \frac{\pi}{3}$ 上。直线 AC 垂直于 x 轴。若曲线在点 A 处的法线与 x 轴交于点 B，求 A 和 B 的确切坐标。 D…
31图中显示了曲线 $y = 4 - e^{-2x}$ 的一部分，它与坐标轴相交于 $A$ 和 $B$ 两点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。曲线在 $B$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $C$ 点。求 $C$ 的坐标。求阴影区域的面积…
32 $ABCD$ 是一个平行四边形。点 $A$ 在 $y$ 轴上，且 $D$ 的坐标为 $(6, -1)$ 。 $AC$ 是一条水平线，且 $BC$ 的斜率为 $-\frac{4}{3}$ 。求 $A$ 的坐标。答 $A$ ( ... ,…
33已知一条曲线的导函数为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{16}{x^3} - 4$ 。若直线 $2y - x - 6 = 0$ 是该曲线的一条法线，求该曲线的方程。
34已知曲线的方程为 $y = ax^2 + 4x + 3a - 7$ ，其中 $a$ 为常数。直线 $y = 2ax - 5$ 在点 $Q$ 处与该曲线相切。求 $a$ 的所有可能值。已知直线 $y = 2ax - 5$ 的斜率为正，求…
35图中显示了曲线 $y = \sqrt{4x + 5}$ 的一部分。曲线在 $P$ 点处的法线与 $x$ 轴交于 $T$ 。 $P$ 的 $x$ 坐标为 5。已知 $PT$ 是 $PQ$ 的两倍，且 $RQ$ 平行于 $x$ 轴，求 $P$ 点…
36圆心为 $C$ 的圆的方程为 $x^2 + y^2 -10x -4y +25 = 0$ 。求 $C$ 的坐标和圆的半径。解释为什么 x 轴是该圆的切线。在 $x = 3$ 处的圆的切线与 x 轴相交于点 P。求 P 的坐标。
37该图显示了曲线 $y = -3(2x-4)^{-1/3}$ 的一部分。点 $P(-2,\ 1.5)$ 位于该曲线上，且该曲线在点 $P$ 处的法线与 x 轴交于点 $Q$ 。求 $Q$ 的坐标。求由该曲线、法线 $PQ$ 和坐标轴围成的阴…
38图中显示了曲线 $y = \\sqrt{2x + 4}$ 的一部分，曲线与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ 。曲线在点 $B$ 处的法线与 $x$ 轴交于点 $C$ 。写出 $B$ 点的坐标。求 $C$ 点的坐标。…
39图中显示了三个点 $A$ 、 $C$ 和 $D$ ，其坐标分别为 $(3, 5)$ 、 $(4, -2)$ 和 $(7, 2)$ 。求 $AC$ 的垂直平分线的方程。求垂直平分线与 $y$ 轴相交的点 $B$ 的坐标。证明 $ABCD$ 是正方形…
40如图（未按比例绘制）所示，直角三角形 PQR 中，点 P 为 (5, 4)，点 R 为 (9, 2)。点 S 为 (-1.5, 11)，且 PR 平行于 SQ。求 PQ 的方程。求 Q 的坐标。已知 T 是 QR 延长线上的一点，使…
41本题若通过精确绘图求解将不予评分。如图所示为一个直角三角形 $ABC$ ，其中点 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的坐标分别为 $(k, 0)$ 、 $(2, 8)$ 和 $(-2, -4)$ 。 $BC$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ 。…
42若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标为 ___ ．
43下图显示了一个顶点为 $A(-4, -3)$ 、 $B(6, 1)$ 、 $C(3, 5)$ 和 $D(-2, 3)$ 的四边形 $ABCD$ 。 $M$ 位于 x 轴上，是边 $AD$ 的中点。解释为什么 $ABCD$ 是一个梯形。求 $M$ 的…
44点 $P$ 在曲线 $y = \frac{kx^2}{\sqrt{2-x}}$ 上，其中 $k$ 是常数。 $P$ 的 $x$ 坐标为 $-2$ 。已知 $P$ 点处的法线斜率为 $\frac{1}{7}$ ，求证 $k = 4$ 。点 $P$ …
45如图所示为曲线 $y = x^3 + 3x^2 - 2$ 的一部分。直线 $L$ 与曲线相交于 $A(-3, -2)$ ，与 x 轴相交于 $B$ ，并再次与曲线相交于 $C$ 。已知该曲线在点 $B$ 处的切线斜率为 $-3$ ，求点 $B$ …
46如图所示，这是一个顶点为 A(6, 8)、B、C 和 D 的梯形。边 AB 与 DC 平行，且角 ABC 为 $90^\circ$ 。 AB 穿过原点 O，且 AB 的长度为 15 个单位。点 C 和 D 分别位于 y 轴和 x 轴上。…
47图中所示为点 $A(5, 0)$ 、 $B(a, 3a)$ 和 $C(-2, 6)$ ，使得直线 $AB$ 垂直于直线 $BC$ 。证明 $a = 2.5$ 。求 $AC$ 中点的坐标。由此求点 $D$ 的坐标，使得 $ABCD$ 为平行四边形。…
48求出满足下列条件的直线方程. (1)经过点 $A(-3,2)$ 且与直线 $x+3y-4=0$ 垂直； (2)经过点 $B(2,7)$ 且与直线 $2x-y-4=0$ 平行.
49本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
50图中显示了曲线 $y = 27 + \frac{8}{(x-2)^3}$ 的一部分，该曲线与坐标轴交于点 $A$ 和点 $B$ 。解释为什么该曲线没有驻点。求 $A$ 和 $B$ 的坐标。求曲线在点 $B$ 处的法线方程。曲线在点 $B$ …
51图中显示了曲线 $y = 2\sin\frac{x}{2}$ 的一部分，其中点 $A$ 在该曲线上。点 $A$ 的 $x$ 坐标为 $\frac{4\pi}{3}$ ，曲线在点 $A$ 处的法线与 $x$ 轴交于 $B$ 点，与 $y$ 轴…
52在下图中，直线 $OP$ 与 $x$ 轴正方向成 $\alpha^\circ$ 的角，使得 $\tan \alpha = 0.2$ ，且 $Q$ 位于 $x$ 轴上。已知 $OP = \frac{\sqrt{26}}{2}$ 单位长度，证明…
53本题若通过精确绘图求解将不予评分。 $OABC$ 是一个直角为 $\angle OAB$ 的梯形。 $A$ 和 $B$ 的坐标分别为 $(-2k, 3k)$ 和 $(0, t)$ ，其中 $k > 0$ ，且 $OA = \sqrt{117}$ …
54点 $A(5, 7)$ 和 $B(-11, 15)$ 在圆 $C$ 上。圆心 $O$ 在直线 $y = -2x - 3$ 上。求 $AB$ 的垂直平分线方程。求该圆的方程。点 $D$ 在该圆上，使得角 $ABD$ 为 $90^\circ$ …
55设曲线 $f(x)=ax^{2}$ 在点 $(2,4a)$ 处的切线与直线 $4x-y+4=0$ 垂直，则 $a=(\quad)$ A. $2$ B. $-\dfrac{1}{16}$ C. $\dfrac{1}{2}$ D.…
56下方方格网中的哪两条线互相平行？
57已知曲线 $y=\dfrac{|x|}{{{e}^{x}}}$ 在 $x=-1$ 处的切线和它在 $x={{x}_{0}}\left({x}_{0} > 0\right)$ 处的切线互相垂直，设 ${{x}_{0}}\in (\dfrac{m}{4},\dfrac{m+1}{4}),m\in Z$ …
58已知双曲线 $x^{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1$ 上存在两点 $M$ ， $N$ 关于直线 $y=x+m$ 对称，且 $MN$ 的中点在抛物线 $y^{2}=18x$ 上，则实数 $m$ 的值为 ___ ．
59A 和 B 是直线 $4y = 2x + 1$ 与曲线 $3y - x = 4xy$ 的交点。求 A 和 B 的坐标。亨利（Henry）说直线 $2y - 4x = 5$ 垂直于直线 $AB$ 。他是对的吗？请写出计算过程来解释你的答案。
60过双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，且 $FM$ 的中点 $A$ 在双曲线上，则双曲线离心率 $e$ …