过双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$的右焦点$F$作一条渐近线的垂线，垂足为$M$，且$FM$的中点$A$在双曲线上，则双曲线离心率$e$等于$(\quad)$

A. $\sqrt{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$

1. 求出垂足 $M$ 的坐标

设双曲线的右焦点为 $F(c,0)$，其中一条渐近线方程为 $y = \dfrac{b}{a} x$ 即 $bx - ay = 0$。
过 $F$ 作渐近线 $y = \dfrac{b}{a} x$ 的垂线 $FM$，由于两直线垂直其斜率之积为 $-1$，故直线 $FM$ 的斜率为 $-\dfrac{a}{b}$。
所以直线 $FM$ 的方程为：$y - 0 = -\dfrac{a}{b}(x - c)$，即 $ax + by - ac = 0$。
联立渐近线与垂线方程：
$\begin{cases} y = \dfrac{b}{a}x \\ ax + by - ac = 0 \end{cases}$
解得交点（垂足） $M$ 的坐标为 M\left(\dfrac{a^2}{c}, \dfrac{ab}{c} ight)。

2. 利用中点公式求出线段 $FM$ 的中点 $A$ 的坐标

已知 $F(c,0)$，且 M\left(\dfrac{a^2}{c}, \dfrac{ab}{c} ight)。
根据线段中点坐标公式，中点 $A(x_A, y_A)$ 的坐标为：
$x_A = \frac{c + \frac{a^2}{c}}{2} = \frac{a^2 + c^2}{2c}$
$y_A = \frac{0 + \frac{ab}{c}}{2} = \frac{ab}{2c}$
所以 A\left(\dfrac{a^2 + c^2}{2c}, \dfrac{ab}{2c} ight)。

3. 将 $A$ 的坐标代入双曲线方程，化简得到 $a, c$ 的关系式

因为中点 $A$ 在双曲线上，将其坐标代入双曲线方程 $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ 中，得：
$\frac{\left(\frac{a^2+c^2}{2c}\right)^2}{a^2} - \frac{\left(\frac{ab}{2c}\right)^2}{b^2} = 1$
化简为：
$\frac{(a^2+c^2)^2}{4c^2 a^2} - \frac{a^2}{4c^2} = 1$
两边同乘以 $4c^2 a^2$ 得：
$(a^2+c^2)^2 - a^4 = 4c^2 a^2$
展开整理得：
$a^4 + 2a^2 c^2 + c^4 - a^4 = 4a^2 c^2 \implies c^4 = 2a^2 c^2$
因为 $c > 0$，所以两边同除以 $c^2$，得：
$c^2 = 2a^2$

4. 求出双曲线的离心率 $e$

根据双曲线的离心率公式 $e = \dfrac{c}{a}$，可得：
$e^2 = \frac{c^2}{a^2} = 2$
因为双曲线的离心率 $e > 1$，所以 $e = \sqrt{2}$。
故选 A。