1. 利用椭圆定义求出三角形的周长
根据椭圆的定义,过焦点 F1 的弦 AB 与另一焦点 F2 组成的三角形 △ABF2 的周长为:
L=∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣=(∣AF1∣+∣AF2∣)+(∣BF1∣+∣BF2∣)=2a+2a=4a
2. 利用内切圆半径表示三角形的面积
设 △ABF2 的面积为 S,内切圆半径为 r=1,则由三角形面积公式可得:
S=21L⋅r=21⋅4a⋅1=2a
3. 利用焦点弦与纵坐标之差求出三角形面积
由于直线 AB 过 x 轴上的焦点 F1,点 A 和 B 位于 x 轴的两侧,因此 △ABF2 的面积可拆分为以 F1F2 为底的两个三角形面积之和:
S=S△AF1F2+S△BF1F2=21∣F1F2∣⋅∣y1∣+21∣F1F2∣⋅∣y2∣=21∣F1F2∣⋅(∣y1∣+∣y2∣)
由于 y1,y2 异号,有 ∣y1∣+∣y2∣=∣y1−y2∣=3。
已知 ∣F1F2∣=2,代入得:
S=21⋅2⋅3=3
4. 联立面积方程求出离心率
由前面的面积表达式,得 2a=3⟹a=23。
因为 ∣F1F2∣=2c=2,所以 c=1。
则椭圆的离心率为:
e=ac=231=32