已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0) \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0),F1F_{1}和F2F_{2}是椭圆的左、右焦点,过F1F_{1}的直线交椭圆于A(x1,y1)A(x_{1},y_{1}),B(x2,y2)B(x_{2},y_{2})两点,若△ABF2\triangle ABF_{2}的内切圆半径为11,∣F1F2∣=2|F_{1}F_{2}|=2,∣y1−y2∣=3|y_{1}-y_{2}|=3,则椭圆离心率为 ___ .

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完整解法

1. 利用椭圆定义求出三角形的周长

根据椭圆的定义,过焦点 F1F_1 的弦 ABAB 与另一焦点 F2F_2 组成的三角形 △ABF2\triangle ABF_2 的周长为:
L=∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣=(∣AF1∣+∣AF2∣)+(∣BF1∣+∣BF2∣)=2a+2a=4aL = |AB| + |AF_2| + |BF_2| = (|AF_1| + |AF_2|) + (|BF_1| + |BF_2|) = 2a + 2a = 4a

2. 利用内切圆半径表示三角形的面积

设 △ABF2\triangle ABF_2 的面积为 SS,内切圆半径为 r=1r=1,则由三角形面积公式可得:
S=12L⋅r=12⋅4a⋅1=2aS = \dfrac{1}{2} L \cdot r = \dfrac{1}{2} \cdot 4a \cdot 1 = 2a

3. 利用焦点弦与纵坐标之差求出三角形面积

由于直线 ABAB 过 xx 轴上的焦点 F1F_1,点 AA 和 BB 位于 xx 轴的两侧,因此 △ABF2\triangle ABF_2 的面积可拆分为以 F1F2F_1F_2 为底的两个三角形面积之和:
S=S△AF1F2+S△BF1F2=12∣F1F2∣⋅∣y1∣+12∣F1F2∣⋅∣y2∣=12∣F1F2∣⋅(∣y1∣+∣y2∣)S = S_{\triangle AF_1F_2} + S_{\triangle BF_1F_2} = \dfrac{1}{2} |F_1F_2| \cdot |y_1| + \dfrac{1}{2} |F_1F_2| \cdot |y_2| = \dfrac{1}{2} |F_1F_2| \cdot (|y_1| + |y_2|)
由于 y1,y2y_1, y_2 异号,有 ∣y1∣+∣y2∣=∣y1−y2∣=3|y_1| + |y_2| = |y_1 - y_2| = 3。
已知 ∣F1F2∣=2|F_1F_2| = 2,代入得:
S=12⋅2⋅3=3S = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3

4. 联立面积方程求出离心率

由前面的面积表达式,得 2a=3  ⟹  a=322a = 3 \implies a = \dfrac{3}{2}。
因为 ∣F1F2∣=2c=2|F_1F_2| = 2c = 2,所以 c=1c = 1。
则椭圆的离心率为:
e=ca=132=23e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{2}{3}

答案

\dfrac{2}{3}

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