已知抛物线$C$：$x^{2}=-2py$经过点$(2,-1).(1)$求抛物线$C$的方程及其准线方程； (2)设$O$为原点，过抛物线$C$的焦点作斜率不为$0$的直线$l$交抛物线$C$于两点$M$，$N$，直线$y=-1$分别交直线$OM$，$ON$于点$A$和点$B.$求证：以$AB$为直径的圆经过$y$轴上的两个定点．

1. 求出抛物线 $C$ 的方程

将点 $(2,-1)$ 代入抛物线 $C$ 的方程 $x^2 = -2py$，可得：
$2^2 = -2p \cdot (-1) \implies 4 = 2p \implies p = 2$
所以抛物线 $C$ 的方程为 $x^2 = -4y$。

2. 求出准线方程

因为 $p=2$，且抛物线开口向下，其准线方程为 $y = \dfrac{p}{2} = 1$。

1. 设出直线方程并联立得到韦达定理关系式

由(1)知，抛物线 $C$ 的焦点为 $F(0, -1)$。
设过焦点 $F$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 的方程为 $y = kx - 1$ ($k \neq 0$)。
设 $M(x_1, y_1)$，$N(x_2, y_2)$ 为直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的交点。
联立方程：
$\begin{cases} y = kx - 1 \\ x^2 = -4y \end{cases} \implies x^2 + 4kx - 4 = 0$
由于该一元二次方程的判别式 $\Delta = 16k^2 + 16 > 0$ 恒成立，根据根与系数的关系可得：
$x_1 x_2 = -4$

2. 求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标

由于原点为 $O(0,0)$，直线 $OM$ 的方程为 $y = \dfrac{y_1}{x_1} x$。
点 $A$ 是直线 $OM$ 与直线 $y = -1$ 的交点，代入得 $-1 = \dfrac{y_1}{x_1} x_A \implies x_A = -\dfrac{x_1}{y_1}$。
因为 $M(x_1, y_1)$ 在抛物线上，所以 $y_1 = -\dfrac{x_1^2}{4}$，从而 $x_A = \dfrac{4}{x_1}$，即 $A\left(\dfrac{4}{x_1}, -1\right)$。
同理可得，点 $B$ 的坐标为 $B\left(\dfrac{4}{x_2}, -1\right)$。

3. 通过向量数量积求出以 $AB$ 为直径的圆所过的 $y$ 轴定点

设圆经过 $y$ 轴上的定点 $D(0, n)$。
根据直径所对圆周角为直角，则对于任意的直线 $l$，均有 $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = 0$ 恒成立。
计算向量：
$\overrightarrow{DA} = \left(\dfrac{4}{x_1}, -1 - n\right), \quad \overrightarrow{DB} = \left(\dfrac{4}{x_2}, -1 - n\right)$
所以有：
$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = \dfrac{16}{x_1 x_2} + (n+1)^2 = 0$
将 $x_1 x_2 = -4$ 代入，得：
$-4 + (n+1)^2 = 0 \implies (n+1)^2 = 4$
解得 $n = 1$ 或 $n = -3$。
因此，以 $AB$ 为直径的圆经过 $y$ 轴上的两个定点 $(0, 1)$ 和 $(0, -3)$。