过双曲线$C$：$\dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}} =1(a > 0 , b > 0)$的左焦点$F$且斜率为$\dfrac {1}{2}$的直线$l$与双曲线$C$的两条渐近线分别交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于$M$点，若$2 \overrightarrow {AM}= \overrightarrow {MB}$，则双曲线$C$的离心率等于$(\:\:\:\:)$

A. $\sqrt {10}$

B. $\sqrt {13}$

C. $\dfrac { \sqrt {10}}{2}$

D. $\dfrac { \sqrt {13}}{2}$

1. 写出直线 $l$ 的方程及点 $M$ 的坐标

由题意，双曲线 $C$ 的左焦点为 $F(-c, 0)$，直线的斜率为 $\dfrac{1}{2}$，
所以直线 $l$ 的方程为：$y = \dfrac{1}{2}(x+c)$。
令 $x=0$，可得 $y = \dfrac{c}{2}$，因此直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为 $M\left(0, \dfrac{c}{2}\right)$。

2. 求交点 $A$ 和 $B$ 的横坐标

双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \dfrac{b}{a}x$。
联立直线 $l$ 与渐近线 $y = -\dfrac{b}{a}x$（第二象限），得：
$\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}(x+c) \\ y = -\dfrac{b}{a}x \end{cases}$
解得 $A$ 点的横坐标为 $x_A = -\dfrac{ac}{a+2b}$。
联立直线 $l$ 与渐近线 $y = \dfrac{b}{a}x$（第一象限），得：
$\begin{cases} y = \dfrac{1}{2}(x+c) \\ y = \dfrac{b}{a}x \end{cases}$
解得 $B$ 点的横坐标为 $x_B = \dfrac{ac}{2b-a}$（其中 $2b > a$）。

3. 利用向量共线关系求 $a$ 和 $b$ 的关系

已知 $2 \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$，且 $M$ 在 $y$ 轴上（即 $x_M = 0$）。
根据向量的坐标关系，有：
$2(x_M - x_A) = x_B - x_M \implies -2x_A = x_B$
将 $x_A$ 和 $x_B$ 代入得：
$\dfrac{2ac}{a+2b} = \dfrac{ac}{2b-a}$
因为 $a > 0, c > 0$，两边同除以 $ac$ 整理得：
$2(2b-a) = a+2b \implies 2b = 3a$

4. 计算双曲线的离心率

在双曲线中，$b^2 = c^2 - a^2$。
将 $b = \dfrac{3}{2}a$ 代入可得：
$\dfrac{9}{4}a^2 = c^2 - a^2 \implies c^2 = \dfrac{13}{4}a^2$
所以离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$。
对照选项，选 D。