点$(a,b)$关于直线$x+y+1=0$的对称点是___.

1. 设对称点坐标并利用垂直关系建立第一个关于对称点坐标的方程

设对称点的坐标为 $(x_{0}, y_{0})$。
因为点 $(a,b)$ 与其关于直线 $x+y+1=0$ 的对称点 $(x_{0},y_{0})$ 的连线与已知直线垂直，且直线 $x+y+1=0$ 的斜率为 $-1$，
所以连线的斜率为 $1$。由斜率公式可得：
$\frac{y_{0}-b}{x_{0}-a} = 1 \implies y_{0}-b = x_{0}-a \implies x_{0}-y_{0} = a-b \quad \text{①}$

2. 利用中点公式及中点在对称轴上建立第二个方程

由中点公式可知，对称点 $(x_0, y_0)$ 与原点 $(a, b)$ 连线的中点坐标为 $\left(\frac{a+x_0}{2}, \frac{b+y_0}{2}\right)$。
因为中点在对称轴直线 $x+y+1=0$ 上，将中点坐标代入直线方程得：
$\frac{a+x_0}{2} + \frac{b+y_0}{2} + 1 = 0 \implies x_0 + y_0 = -a - b - 2 \quad \text{②}$

3. 联立并解方程组，求出对称点的坐标

联立 ①、② 两个方程组成方程组：
$\begin{cases} x_{0} - y_{0} = a - b \\ x_{0} + y_{0} = -a - b - 2 \end{cases}$
两式相加，得 $2x_{0} = -2b - 2 \implies x_{0} = -b - 1$；
两式相减，得 $2y_{0} = -2a - 2 \implies y_{0} = -a - 1$。
所以对称点坐标为 $(-b-1, -a-1)$。