已知圆$C$：$(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$与$x$轴切于$A$点，与$y$轴切于$B$点，设劣弧$\hat AB$的中点为$M$，则过点$M$的圆$C$的切线方程是$()$

A. $y=x+2- \sqrt {2}$

B. $y=x+1- \dfrac {1}{ \sqrt {2}}$

C. $y=x-2+ \sqrt {2}$

D. $y=x+1- \sqrt {2}$

1. 确定圆 $C$ 的圆心坐标和半径，以及切点 $A$ 和 $B$ 的坐标

由圆的方程 $(x+1)^2+(y-1)^2=1$ 可知，圆心为 $C(-1, 1)$，半径 $R = 1$。
圆 $C$ 与 $x$ 轴切于点 $A(-1, 0)$，与 $y$ 轴切于点 $B(0, 1)$。

2. 求出劣弧 $\hat{AB}$ 的中点 $M$ 的坐标

由于 $A(-1, 0)$，$B(0, 1)$，且圆心为 $C(-1, 1)$，两半径对应的向量为 $\vec{CA} = (0, -1)$，$\vec{CB} = (1, 0)$。
劣弧 $\hat{AB}$ 的中点为 $M$，由圆的对称性，向量 $\vec{CM}$ 位于 $\vec{CA}$ 与 $\vec{CB}$ 的角平分线上。
因为该角平分线方向对应的方向角为 $-45^\circ$，且 $|\vec{CM}| = R = 1$，
所以 $\vec{CM} = (\cos(-45^\circ), \sin(-45^\circ)) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$。
故点 $M$ 的坐标为 $x_M = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$y_M = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$，即 $M(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1-\frac{\sqrt{2}}{2})$。

3. 确定切线的斜率

因为切线与半径 $CM$ 垂直，
直线 $CM$ 的斜率为 $k_{CM} = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}-1}{-1+\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)} = -1$，
因此过点 $M$ 的切线的斜率为 $k = -\frac{1}{k_{CM}} = 1$。

4. 求出切线方程并得出答案

由直线的点斜式方程，过点 $M(-1+\frac{\sqrt{2}}{2}, 1-\frac{\sqrt{2}}{2})$ 且斜率为 $1$ 的直线方程为：
$y - (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 \cdot [x - (-1+\frac{\sqrt{2}}{2})]$
化简整理得：$y = x + 2 - \sqrt{2}$。
对照选项，可知答案选 A。