已知三个点$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(4,2)$，则$\triangle ABC$的外心的纵坐标是$(\quad)$

A. $\dfrac{3}{2}$

B. $3$

C. $\dfrac{5}{2}$

D. $4$

1. 求线段 $AB$ 的垂直平分线方程

因为 $\triangle ABC$ 的外心是三条边垂直平分线的交点，我们首先求边 $AB$ 的垂直平分线。
已知 $A(0,0)$，$B(2,0)$，由于线段 $AB$ 在 $x$ 轴上，其中点为 $(1,0)$，因此线段 $AB$ 的垂直平分线方程为：
$x = 1$

2. 求线段 $BC$ 的垂直平分线方程

已知 $B(2,0)$，$C(4,2)$。
线段 $BC$ 的中点为 $M\left(\dfrac{2+4}{2}, \dfrac{0+2}{2}\right) = (3,1)$。
直线 $BC$ 的斜率为 $k_{BC} = \dfrac{2-0}{4-2} = 1$。
所以 $BC$ 的垂直平分线的斜率为 $k = -\dfrac{1}{k_{BC}} = -1$。
根据点斜式，其方程为：
$y - 1 = -1(x - 3) \implies x + y - 4 = 0$

3. 联立方程求外心纵坐标

联立两条垂直平分线的方程：
$\begin{cases} x = 1 \\ x + y - 4 = 0 \end{cases}$
将 $x = 1$ 代入方程中，解得：
$y = 3$
因此，$\triangle ABC$ 的外心的纵坐标是 $3$。
故正确选项为 B。