已知曲线$y=\dfrac{|x|}{{{e}^{x}}}$在$x=-1$处的切线和它在$x={{x}_{0}}\left({x}_{0} > 0\right)$处的切线互相垂直，设${{x}_{0}}\in (\dfrac{m}{4},\dfrac{m+1}{4}),m\in Z$，则$m=$ ．

1. 写出分段函数表达式并求出 $x < 0$ 和 $x > 0$ 时的导函数

已知函数 $y=\dfrac{|x|}{e^x}$，可以写成如下分段函数的形式：
$y = \begin{cases} \dfrac{x}{e^x}, & x \ge 0 \\ -\dfrac{x}{e^x}, & x < 0 \end{cases}$
当 $x < 0$ 时，对其求导可得：
$y' = \left(-xe^{-x}\right)' = -e^{-x} + xe^{-x} = \dfrac{x-1}{e^x}$
当 $x > 0$ 时，对其求导可得：
$y' = \left(xe^{-x}\right)' = e^{-x} - xe^{-x} = \dfrac{1-x}{e^x}$

2. 计算曲线在 $x=-1$ 和 $x=x_0$ 处的切线斜率

将 $x = -1$ 代入 $x < 0$ 时的导函数，可得在 $x = -1$ 处的切线斜率为：
$k_1 = y'|_{-1} = \dfrac{-1-1}{e^{-1}} = -2e$
将 $x = x_0 \left(x_0 > 0\right)$ 代入 $x > 0$ 时的导函数，可得在 $x = x_0$ 处的切线斜率为：
$k_2 = y'|_{x_0} = \dfrac{1-x_0}{e^{x_0}}$

3. 利用垂直关系建立关于 $x_0$ 的方程并引入换元简化方程

因为两切线互相垂直，所以斜率之积为 $-1$，即 $k_1 \cdot k_2 = -1$：
$(-2e) \cdot \dfrac{1-x_0}{e^{x_0}} = -1 \Rightarrow 2(1-x_0)e^{1-x_0} = 1$
令 $t = 1-x_0$，代入上式，可将方程简化为：
$te^t = \dfrac{1}{2}$

4. 利用零点存在定理估算 $t$ 的范围，进而确定 $x_0$ 与 $m$ 的值

构造函数 $g(t) = te^t - \dfrac{1}{2}$，对 $t$ 求导得 $g'(t) = (t+1)e^t$。
当 $t > -1$ 时，$g'(t) > 0$，所以 $g(t)$ 在 $(-1, +\infty)$ 上单调递增。
利用特殊值估算零点所在区间：
$g\left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{4}e^{1/4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^{1/4}-2}{4} < 0 \quad (\text{因 } e < 16 \Rightarrow e^{1/4} < 2)$
$g\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}e^{1/2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{e}-1}{2} > 0 \quad (\text{因 } e > 1 \Rightarrow \sqrt{e} > 1)$
由函数零点存在定理可知，方程 $g(t) = 0$ 的根 $t_0 \in \left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}\right)$。
由于 $x_0 = 1-t_0$，可得：
$x_0 \in \left(1-\dfrac{1}{2}, 1-\dfrac{1}{4}\right) \Rightarrow x_0 \in \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}\right)$
即 $x_0 \in \left(\dfrac{2}{4}, \dfrac{3}{4}\right)$。
对照已知 $x_0 \in \left(\dfrac{m}{4}, \dfrac{m+1}{4}\right), m \in \mathbb{Z}$，可得 $m = 2$。