若曲线$y=x^{\mathrm{{-}}\frac{1}{2}}$在点$(a,a^{\mathrm{{-}}\frac{1}{2}})$处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为$18$，则$a$的值为___.

1. 对函数求导，求出切线的斜率

已知函数 $y=x^{-\frac{1}{2}}$（其中 $a > 0$）。对其求导得到：
$y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$
因此，曲线在点 $(a, a^{-\frac{1}{2}})$ 处的切线斜率为：
$k = y'\big|_{x=a} = -\frac{1}{2}a^{-\frac{3}{2}}$

2. 写出切线方程并求出其与坐标轴的交点坐标

由点斜式方程，切线方程可写为：
$y - a^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}a^{-\frac{3}{2}}(x - a)$
化简得：
$y = -\frac{1}{2}a^{-\frac{3}{2}}x + \frac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}}$
令 $x = 0$，得 $y = \frac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}}$，即切线与 $y$ 轴的交点为 $\left(0, \frac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}}\right)$；
令 $y = 0$，得 $x = 3a$，即切线与 $x$ 轴的交点为 $(3a, 0)$。

3. 根据三角形面积公式建立关于 $a$ 的方程并求解

由于 $a > 0$，切线与两个坐标轴围成的三角形在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距长度分别为 $3a$ 和 $\frac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}}$。
因此，该直角三角形的面积为：
$S = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot \frac{3}{2}a^{-\frac{1}{2}} = \frac{9}{4}a^{\frac{1}{2}}$
根据题意，面积为 $18$，所以：
$\frac{9}{4}a^{\frac{1}{2}} = 18$
解得：
$a^{\frac{1}{2}} = 8$
两边平方得：
$a = 64$
经检验，$a = 64$ 满足 $a > 0$ 的条件。