曲线$y=2x+\ln x$在$x=1$处的切线的倾斜角为$α$，则$\cos α+\sin α$的值为( )

A. $\dfrac{ \sqrt{10}}{10}$

B. $\dfrac{ \sqrt{10}}{5}$

C. $\dfrac{3 \sqrt{10}}{10}$

D. $\dfrac{2 \sqrt{10}}{5}$

1. 求导函数并计算切点处的导数值以确定切线斜率

设 $f(x) = 2x + \ln x$，对 $f(x)$ 求导数得：
$f'(x) = 2 + \frac{1}{x}$
将 $x=1$ 代入，求得切点处的导数值，即切线斜率 $k$：
$k = f'(1) = 2 + \frac{1}{1} = 3$

2. 根据斜率与倾斜角的关系确定斜率的正切值

因为曲线在 $x=1$ 处的切线倾斜角为 $\alpha$，所以有：
$\tan \alpha = k = 3$
又因为 $\tan \alpha = 3 > 0$，倾斜角 $\alpha \in [0, \pi)$，所以 $\alpha$ 为锐角，即 $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，因此 $\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0$。

3. 利用同角三角函数的基本关系求出目标表达式的值

由 $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3$，可得 $\sin \alpha = 3\cos \alpha$。
代入同角三角函数平方关系式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，得：
$(3\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \implies 10\cos^2 \alpha = 1$
因为 $\cos \alpha > 0$，所以：
$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$
从而得到：
$\sin \alpha = 3\cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
所以：
$\cos \alpha + \sin \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$
故正确答案为 D。