过点$P(2,-1)$作抛物线$C$：$x^{2}=2y$的两条切线，切点分别为$A$，$B$，则直线$AB$的方程为 ___.

1. 设出切点坐标，求出过切点处的切线斜率

设切点分别为 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$。
抛物线方程为 $x^2 = 2y$，可变形为 $y = \frac{1}{2}x^2$。
对 $y$ 求导得 $y' = x$。
故过点 $A(x_1, y_1)$ 的切线斜率为 $k_A = y'|_{x=x_1} = x_1$。

2. 写出过切点的切线方程并进行化简

由于点 $A(x_1, y_1)$ 在抛物线上，满足 $x_1^2 = 2y_1$。
过点 $A$ 的切线方程为：
$y - y_1 = x_1(x - x_1)$
化简整理得：
$y - y_1 = x_1x - x_1^2$
将 $x_1^2 = 2y_1$ 代入上式得：
$y - y_1 = x_1x - 2y_1 \implies x_1x - y - y_1 = 0$

3. 利用切线过点P代入求得切点坐标满足的等式关系

因为切线过点 $P(2, -1)$，将 $P(2, -1)$ 代入切线方程 $x_1x - y - y_1 = 0$ 中，得：
$2x_1 - (-1) - y_1 = 0 \implies 2x_1 - y_1 + 1 = 0$
同理，过点 $B(x_2, y_2)$ 的切线也过点 $P(2, -1)$，代入可得：
$2x_2 - y_2 + 1 = 0$

4. 得出直线AB的方程

由 $\begin{cases} 2x_1 - y_1 + 1 = 0 \\ 2x_2 - y_2 + 1 = 0 \end{cases}$ 可知，点 $A(x_1, y_1)$ 和点 $B(x_2, y_2)$ 均满足二元一次方程 $2x - y + 1 = 0$。
根据两点确定一条直线，直线 $AB$ 的方程即为 $2x - y + 1 = 0$。