已知函数$f(x)=ax^{2}+x\ln x+x$． (1)若$a=1$，求函数$f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程； (2)若$a=-e$，证明：方程$|f(x)|-\ln x= \dfrac {1}{2}x$无解．

1. 确定 $a=1$ 时的函数解析式并求出切点的纵坐标

当 $a=1$ 时，$f(x)=x^{2}+x\ln x+x$，则 $f(1)=1^{2}+1\cdot\ln 1+1=2$，所以切点为 $(1,2)$．

2. 求出函数的导函数并计算切线的斜率

对 $f(x)$ 求导得：$f'(x)=2x+\ln x+x\cdot\frac{1}{x}+1=2x+\ln x+2$．
代入 $x=1$ 得切线斜率 $k=f'(1)=2\times 1+\ln 1+2=4$．

3. 利用点斜式求出切线方程

由点斜式方程，切线方程为 $y-2=4(x-1)$，化简得 $y=4x-2$．

1. 将原方程等价变形进行变量分离

当 $a=-e$ 时，方程为 $|-ex^{2}+x\ln x+x|-\ln x=\frac{1}{2}x$．
因为 $x>0$，可提公因式 $x$，将方程两边同除以 $x$，变形为：
$|-ex+\ln x+1|=\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{2}$．

2. 构造左边函数并利用导数求其最大值，确定其绝对值的范围

设 $g(x)=-ex+\ln x+1$，则 $g'(x)=-e+\frac{1}{x}=\frac{1-ex}{x}$．
令 $g'(x)=0$ 得 $x=\frac{1}{e}$．
当 $x\in(0,\frac{1}{e})$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增；
当 $x\in(\frac{1}{e},+\infty)$ 时，$g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减．
所以 $g(x)_{max}=g(\frac{1}{e})=-e\cdot\frac{1}{e}+\ln\frac{1}{e}+1=-1-1+1=-1$．
因为 $g(x)\le -1$，所以恒有 $|g(x)|\ge 1$．

3. 构造右边函数并求其最大值

设 $h(x)=\frac{\ln x}{x}+\frac{1}{2}$，则 $h'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$．
令 $h'(x)=0$ 得 $x=e$．
当 $x\in(0,e)$ 时，$h'(x)>0$，$h(x)$ 单调递增；
当 $x\in(e,+\infty)$ 时，$h'(x)<0$，$h(x)$ 单调递减．
所以 $h(x)_{max}=h(e)=\frac{\ln e}{e}+\frac{1}{2}=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}$．

4. 比较两边函数的最值，得出原方程无解的结论

因为 $e>2$，所以 $\frac{1}{e}<\frac{1}{2}$，
从而 $h(x)_{max}=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$．
即对任意 $x>0$ 恒有 $h(x)<1$，而 $|g(x)|\ge 1$．
因此 $|g(x)|>h(x)$ 恒成立，即方程 $|g(x)|=h(x)$ 无解，
故原方程 $|f(x)|-\ln x=\frac{1}{2}x$ 无解．