设椭圆 $C$：$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)$的左，右焦点分别为 $F_{1}$， $F_{2}$，其离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，过 $F_{2}$的直线 $l$与 $C$交于 $A$，$B$两点，且$\triangle AF_{1}B$的周长为 $4\sqrt{2}.(1)$求椭圆 $C$的方程； $(2)$设椭圆 $C$的上顶点为 $P$，证明：当 $l$的斜率为$\dfrac{1}{3}$时，点 $P$在以 $AB$为直径的圆上．

1. 利用椭圆定义表示三角形的周长

由椭圆的定义，对于椭圆 $C$ 上的任意一点 $M$，其到两个焦点的距离之和为 $2a$。
因为过焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$，$B$ 两点，
所以 $\triangle AF_1B$ 的周长为：
$C_{\triangle AF_1B} = |AF_1| + |AB| + |BF_1| = |AF_1| + |AF_2| + |BF_2| + |BF_1| = 2a + 2a = 4a$
已知周长为 $4\sqrt{2}$，所以 $4a = 4\sqrt{2}$，得 $a = \sqrt{2}$。

2. 结合离心率求焦点距离 $c$

由于椭圆的离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
将 $a = \sqrt{2}$ 代入，得 $c = a \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 1$。

3. 求出 $b^2$ 并写出椭圆标准方程

因为 $a^2 = b^2 + c^2$，
所以 $b^2 = a^2 - c^2 = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 1$。
又 $a > b > 0$，因此椭圆 $C$ 的标准方程为：
$\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$

1. 确定点 $P$ 的坐标并写出直线 $l$ 的方程

由 (1) 可知，椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$，上顶点 $P$ 的坐标为 $(0, 1)$，右焦点 $F_2$ 的坐标为 $(1, 0)$。
当直线 $l$ 的斜率为 $\dfrac{1}{3}$ 且过点 $F_2(1, 0)$ 时，直线 $l$ 的方程为：
$y - 0 = \dfrac{1}{3}(x - 1) \implies x = 3y + 1$

2. 联立直线与椭圆方程，得到韦达定理形式

将直线 $l$ 的方程 $x = 3y + 1$ 代入椭圆方程 $\dfrac{x^2}{2} + y^2 = 1$，得：
$\dfrac{(3y + 1)^2}{2} + y^2 = 1 \implies 9y^2 + 6y + 1 + 2y^2 = 2 \implies 11y^2 + 6y - 1 = 0$
因为 $\Delta = 6^2 - 4 \times 11 \times (-1) = 80 > 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，则由一元二次方程根与系数的关系得：
$y_1 + y_2 = -\dfrac{6}{11}, \quad y_1 y_2 = -\dfrac{1}{11}$

3. 利用向量数量积证明 $PA \perp PB$，从而证得结论

因为 $P(0, 1)$，所以 $\overrightarrow{PA} = (x_1, y_1 - 1)$，$\overrightarrow{PB} = (x_2, y_2 - 1)$。
计算两个向量的数量积：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = x_1 x_2 + (y_1 - 1)(y_2 - 1)$
由于 $x_1 = 3y_1 + 1$，$x_2 = 3y_2 + 1$，代入上式得：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (3y_1 + 1)(3y_2 + 1) + y_1 y_2 - (y_1 + y_2) + 1 = 10y_1 y_2 + 2(y_1 + y_2) + 2$
将韦达定理 $y_1 y_2 = -\dfrac{1}{11}$ 和 $y_1 + y_2 = -\dfrac{6}{11}$ 代入：
$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 10 \left(-\dfrac{1}{11}\right) + 2 \left(-\dfrac{6}{11}\right) + 2 = -\dfrac{10}{11} - \dfrac{12}{11} + 2 = -2 + 2 = 0$
因为 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$，所以 $PA \perp PB$，即 $\angle APB = 90^\circ$。
故点 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。