已知函数$f(x)=x^{2}+ax+b-a(a,b∈R)$． (1)若关于$x$的不等式$f(x) > 0$的解集为$(-∞,-1)∪(3,+∞)$，求实数$a$，$b$的值； (2)设$a=2$，若不等式$f(x) > b^{2}-3b$对任意实数$x$都成立，求实数$b$的取值范围； (3)设$b=3$，解关于$x$的不等式组$\begin{cases} f(x) > 0 \\ x > 1\end{cases}$．

1. 将不等式的解集转化为对应一元二次方程的根

若关于 $x$ 的不等式 $f(x) = x^2 + ax + b - a > 0$ 的解集为 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$，
根据一元二次不等式与二次方程的关系可知，$-1$ 和 $3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 + ax + b - a = 0$ 的两个实数根。

2. 利用根与系数的关系（韦达定理）求出实数 $a$ 和 $b$ 的值

由韦达定理可得：
$\begin{cases} -1 + 3 = -a \\ -1 \times 3 = b - a \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} a = -2 \\ b = -5 \end{cases}$
经检验，当 $a=-2$，$b=-5$ 时，不等式 $x^2 - 2x - 3 > 0$ 的解集确实为 $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$。
所以 $a = -2$，$b = -5$。

1. 代入 $a=2$ 并将不等式整理变形

当 $a=2$ 时，$f(x) = x^2 + 2x + b - 2$。
不等式 $f(x) > b^2 - 3b$ 恒成立，即 $x^2 + 2x + b - 2 > b^2 - 3b$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立。
整理得：$x^2 + 2x - 2 > b^2 - 4b$ 恒成立。

2. 求二次函数的最值以将恒成立问题转化为最值不等式

考虑二次函数 $g(x) = x^2 + 2x - 2$ 的最小值。
通过配方可得：
$g(x) = (x+1)^2 - 3$
因此，对于任意实数 $x$，恒有 $g(x) \geqslant -3$。
所以要使 $x^2 + 2x - 2 > b^2 - 4b$ 恒成立，只需其最小值大于 $b^2 - 4b$，即：
$-3 > b^2 - 4b$

3. 解关于 $b$ 的一元二次不等式得出其取值范围

由 $b^2 - 4b < -3$ 整理得：
$b^2 - 4b + 3 < 0$
因式分解得：
$(b-1)(b-3) < 0$
解得 $1 < b < 3$。
所以实数 $b$ 的取值范围是 $1 < b < 3$。

1. 代入 $b=3$ 分析 $f(x)$ 对应的方程特征与判别式

当 $b=3$ 时，$f(x) = x^2 + ax + 3 - a$。
对于不等式组 $\begin{cases} f(x) > 0 \\ x > 1 \end{cases}$，注意 $f(1) = 1 + a + 3 - a = 4 > 0$ 恒成立。
方程 $f(x) = 0$ 的判别式为：
$\Delta = a^2 - 4(3-a) = a^2 + 4a - 12 = (a+6)(a-2)$

2. 讨论 $\Delta \leqslant 0$ 时不等式组的解集

当 $-6 \leqslant a \leqslant 2$ 时，$\Delta \leqslant 0$。
此时 $f(x) \geqslant 0$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立。

• 若 $-6 < a < 2$，则 $\Delta < 0$， $f(x) > 0$ 的解集为 $\mathbb{R}$，与 $x > 1$ 取交集得解集为 $(1, +\infty)$。
• 若 $a = 2$， $f(x) = (x+1)^2 > 0$ 的解集为 $\{x \mid x \neq -1\}$，与 $x > 1$ 取交集仍为 $(1, +\infty)$。
• 若 $a = -6$， $f(x) = (x-3)^2 > 0$ 的解集为 $\{x \mid x \neq 3\}$，与 $x > 1$ 取交集为 $(1, 3) \cup (3, +\infty)$。
  此情况会在后续与 $\Delta > 0$ 分类讨论汇总时一起归纳。

3. 讨论 $\Delta > 0$ 时，根据两根与边界 1 的位置关系求解

当 $a < -6$ 或 $a > 2$ 时，$\Delta > 0$。此时方程 $f(x) = 0$ 有两个不同的实根：
$x_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2+4a-12}}{2} \quad (x_1 < x_2)$
由于 $f(1) = 4 > 0$，所以 $1$ 不可能处于两根之间。对称轴为 $x = -\frac{a}{2}$。

1. 若 $a > 2$，则对称轴 $-\frac{a}{2} < -1 < 1$，由于 $f(1) > 0$，可得两根均小于 $1$（即 $x_1 < x_2 < 1$）。
   此时 $f(x) > 0$ 的解集为 $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$，其与 $x > 1$ 的交集为 $(1, +\infty)$。
2. 若 $a < -6$，则对称轴 $-\frac{a}{2} > 3 > 1$，由于 $f(1) > 0$，可得两根均大于 $1$（即 $1 < x_1 < x_2$）。
   此时 $f(x) > 0$ 的解集为 $(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$，其与 $x > 1$ 的交集为 $(1, x_1) \cup (x_2, +\infty)$。

4. 对讨论结果进行合并与总结

综合以上讨论：

• 当 $a = -6$ 时，两根为 $x_1=x_2=3$，其解集 $(1, 3) \cup (3, +\infty)$ 形式上可并入 $a < -6$ 的公式中；
• 当 $a > -6$ 时（即 $-6 < a \leqslant 2$ 或 $a > 2$），不等式组的解集均为 $(1, +\infty)$。
  综上所述：
  当 $a \leqslant -6$ 时，不等式组的解集为 $\left(1, \frac{-a - \sqrt{a^2+4a-12}}{2}\right) \cup \left(\frac{-a + \sqrt{a^2+4a-12}}{2}, +\infty\right)$；
  当 $a > -6$ 时，不等式组的解集为 $(1, +\infty)$。