在平面直角坐标系中，如果点$P$的横坐标与纵坐标相等，则称点$P$为和谐点，例如：点$P(1,1)$、$(-2,-2)$、$(0.5,0.5)$…，都是和谐点，若二次函数$y=ax^{2}+7x+c(a≠0)$的图象上有且只有一个和谐点$(-1,-1)$，则此二次函数的解析式为$(\quad)$

A. $y=3x^{2}+7x+3$

B. $y=2x^{2}+7x+4$

C. $y=x^{2}+7x+5$

D. $y=4x^{2}+7x+2$

1. 根据和谐点的定义，将问题转化为二次函数与直线 $y=x$ 的交点问题，并得出关于 $a$ 和 $c$ 的第一组关系式。

由题意，若点 $P(x,y)$ 为“和谐点”，则其横坐标与纵坐标相等，即满足 $y=x$。
因为二次函数 $y=ax^{2}+7x+c(a \neq 0)$ 的图象上有且只有一个和谐点，
说明该二次函数图象与直线 $y=x$ 有且只有一个交点。
联立两方程：
$ax^2 + 7x + c = x$
整理得：
$ax^2 + 6x + c = 0$
由于 $a \neq 0$ 且该方程有且仅有一个实数根，其判别式 $\Delta$ 必须为 $0$：
$\Delta = 6^2 - 4ac = 0 \implies ac = 9$

2. 利用已知和谐点 $(-1, -1)$ 在函数图象上，求得 $a$ 与 $c$ 的第二组关系式。

因为函数图象上的唯一和谐点为 $(-1, -1)$，说明该点在二次函数图象上。
将 $x=-1$, $y=-1$ 代入二次函数解析式 $y=ax^2+7x+c$ 得：
$-1 = a \cdot (-1)^2 + 7 \cdot (-1) + c$
整理得：
$a + c = 6$

3. 联立方程组求出 $a$ 和 $c$ 的值，确定二次函数的解析式并选出正确选项。

联立得到的方程组：
$\begin{cases} ac = 9 \\ a + c = 6 \end{cases}$
由 $a+c=6$ 可得 $c=6-a$，代入 $ac=9$ 中：
$a(6-a) = 9 \implies a^2 - 6a + 9 = 0 \implies (a-3)^2 = 0$
解得：
$a = 3$
进而求得：
$c = 6 - 3 = 3$
因此，二次函数的解析式为 $y = 3x^2 + 7x + 3$。
对照选项，应选 A。