已知函数$f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+4},x\in(-3,3)$，若对任意$x\in(-3,3)$，总存在$a\in[-1,2]$，使得不等式$f(x)+at+t^{2}-\dfrac{1}{4}< 0$都恒成立，则实数$t$的取值范围为$(\quad)$

A. $(-2,0)$

B. $(-1,0)∪(0,2)$

C. $(0,1)$

D. $(-2,0)∪(0,1)$

1. 求函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 3)$ 上的最大值

当 $x \in (-3, 3)$ 时，由于 $f(x) = \dfrac{x}{x^2+4}$ 是奇函数，我们只需先讨论 $x > 0$ 的情况。
当 $x > 0$ 时，利用基本不等式：
$f(x) = \dfrac{x}{x^2+4} = \dfrac{1}{x + \dfrac{4}{x}} \leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{x \cdot \dfrac{4}{x}}} = \dfrac{1}{4}$
当且仅当 $x = \dfrac{4}{x}$ 即 $x = 2$ 时取等号。因为 $2 \in (-3, 3)$，所以当 $x = 2$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $\dfrac{1}{4}$。
因此，在 $x \in (-3, 3)$ 上， $f(x) \leqslant \dfrac{1}{4}$，从而 $\min_{x \in (-3, 3)} \left(\dfrac{1}{4} - f(x)\right) = 0$。

2. 利用量词的逻辑关系转化不等式恒成立条件

题目要求对任意 $x \in (-3, 3)$，总存在 $a \in [-1, 2]$，使得不等式 $f(x) + at + t^2 - \dfrac{1}{4} < 0$ 成立。
将不等式变形为：
$at + t^2 < \dfrac{1}{4} - f(x)$
对任意 $x$ 存在 $a$ 使得上式成立，等价于对任意 $x \in (-3, 3)$，区间 $[-1, 2]$ 内函数 $h(a) = ta + t^2$ 的最小值小于 $\dfrac{1}{4} - f(x)$。
即：
$\min_{a \in [-1, 2]} (ta + t^2) < \min_{x \in (-3, 3)} \left(\dfrac{1}{4} - f(x)\right)$
由第一步可知 $\min_{x \in (-3, 3)} \left(\dfrac{1}{4} - f(x)\right) = 0$。
所以原命题等价于：
$\min_{a \in [-1, 2]} (ta + t^2) < 0$

3. 对参数 $t$ 分类讨论求解不等式

设 $h(a) = ta + t^2$，$a \in [-1, 2]$。这是一个关于 $a$ 的一次函数：

1. 当 $t = 0$ 时，$h(a) = 0$，其最小值为 $0 \not< 0$，不合题意。
2. 当 $t > 0$ 时，$h(a)$ 关于 $a$ 单调递增，最小值为 $h(-1) = -t + t^2$。
   令 $-t + t^2 < 0 \implies t(t-1) < 0$，解得 $0 < t < 1$。
3. 当 $t < 0$ 时，$h(a)$ 关于 $a$ 单调递减，最小值为 $h(2) = 2t + t^2$。
   令 $2t + t^2 < 0 \implies t(t+2) < 0$，解得 $-2 < t < 0$。
   综上所述，实数 $t$ 的取值范围为 $(-2, 0) \cup (0, 1)$。
   对应选项 D。