若不等式ax2+bx+2>0ax^{2}+bx+2 > 0的解集为{x∣−12<x<13}\{x|- \dfrac {1}{2} < x < \dfrac {1}{3}\},则a−ba-b的值为 ___ .

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完整解法

1. 将一元二次不等式的解集转化为对应一元二次方程的根

因为不等式 ax2+bx+2>0ax^2 + bx + 2 > 0 的解集为 {x∣−12<x<13}\{x | -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\},
所以对应的一元二次方程 ax2+bx+2=0ax^2 + bx + 2 = 0 的两根为 x1=−12x_1 = -\frac{1}{2} 和 x2=13x_2 = \frac{1}{3},且二次项系数 a<0a < 0.

2. 利用根与系数的关系(韦达定理)求出 $a$ 和 $b$ 的值

由一元二次方程根与系数的关系可得:
{x1+x2=−bax1⋅x2=2a\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{2}{a} \end{cases}
代入两根的值可得:
{−12+13=−ba−12×13=2a⇒{−16=−ba−16=2a\begin{cases} -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{b}{a} \\ -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -\dfrac{1}{6} = -\dfrac{b}{a} \\ -\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{a} \end{cases}
解得:a=−12a = -12(满足 a<0a < 0),b=−2b = -2.

3. 计算代数式 $a - b$ 的值

将 a=−12a = -12,b=−2b = -2 代入 a−ba - b 中,得:
a−b=−12−(−2)=−10a - b = -12 - (-2) = -10.

答案

-10

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