关于函数$f(x)=\begin{cases}{2^{x}-a,0\leqslant x< 2}\\ {b-x,x\geqslant 2}\end{cases}$，其中$a$，$b\in R$，给出下列四个结论： 甲：$6$是该函数的零点； 乙：$4$是该函数的零点； 丙：该函数的零点之积为$0$； 丁：方程$f(x)=\dfrac{5}{2}$有两个根. 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是$(\quad)$

A. 甲

B. 乙

C. 丙

D. 丁

1. 分析函数单调性并判断甲、乙两结论的关系

当 $x\geqslant 2$ 时，函数 $f(x)=b-x$ 是关于 $x$ 的单调递减函数，因此在区间 $[2,+\infty)$ 上该函数至多有一个零点。
因为 $6\geqslant 2$ 且 $4\geqslant 2$，所以 $6$ 和 $4$ 不可能同时为 $f(x)$ 的零点。
由于四个结论中有且只有一个结论错误，因此甲和乙中必有一个错误、一个正确，从而丙和丁两个结论都是正确的。

2. 利用结论丙求出参数 $a$ 的值

因为丙“该函数的零点之积为 $0$”正确，所以该函数必有一个零点为 $0$。
当 $0\leqslant x < 2$ 时，由 $f(0)=2^0-a=0$，解得 $a=1$。

3. 分类讨论甲、乙的正确性并进行验证，确定错误结论

若甲正确，即 $6$ 是 $f(x)$ 的零点。
由于 $6\geqslant 2$，则 $f(6)=b-6=0 \implies b=6$。
此时函数解析式为 $f(x)=\begin{cases}{2^{x}-1,0\leqslant x< 2}\\ {6-x,x\geqslant 2}\end{cases}$。
检验丁：令 $f(x)=\dfrac{5}{2}$：
① 当 $0\leqslant x< 2$ 时，$2^{x}-1=\dfrac{5}{2} \implies 2^x = \dfrac{7}{2} \implies x=\log_{2}\dfrac{7}{2}$。由于 $1 < \log_2 \dfrac{7}{2} < 2$，在定义域内，此为一根；
② 当 $x\geqslant 2$ 时，$6-x=\dfrac{5}{2} \implies x=\dfrac{7}{2}$，满足 $x\geqslant 2$，此为另一根。
此时方程 $f(x)=\dfrac{5}{2}$ 有两个根，丁正确，符合“只有一个结论错误”的条件，所以错误结论为乙。

若乙正确，即 $4$ 是 $f(x)$ 的零点。
同理，可得 $b=4$，函数解析式为 $f(x)=\begin{cases}{2^{x}-1,0\leqslant x< 2}\\ {4-x,x\geqslant 2}\end{cases}$。
检验丁：当 $x\geqslant 2$ 时，$4-x=\dfrac{5}{2} \implies x=\dfrac{3}{2}$，这与 $x\geqslant 2$ 矛盾，舍去。
此时方程 $f(x)=\dfrac{5}{2}$ 只有一个根，丁结论错误，这与“有且只有一个结论错误”矛盾。

综上所述，错误的结论是乙。