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指数与对数函数及图象

指数函数与对数函数 $a^{x}$ 、 $e^{x}$ 、 $\log_{a}x$ 、 $\ln x$ 及其图像，包括：对数运算法则、 $y = a^{x}$ 与 $x = \log_{a}y$ 的等价性、换底公式

这个知识点的练习题

1潘先生买了一辆新车。 $t$ 个月后，其价值 $V$ 由 $V = 250000e^{-pt}$ 给出，其中 $p$ 为常数。该车在 36 个月后的价值为 $180 000。证明 $p$ 大约为 0.00913。求当该车的预期价值为 \…
2求曲线 $y = 2x^2 - \ln x + c$ 的导函数。曲线在点 $T$ 处与正 $x$ 轴相切。求 $T$ 的坐标。证明 $c = -\ln 2\sqrt{e}$ 。求在点 $T$ 处 $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ …
3点 $P$ 在曲线 $y = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ （ $x > 1$ ）上。该曲线在点 $P$ 处的法线平行于直线 $2y = 3x + 2$ 。曲线在点 $P$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $Q$ 。求…
4图中显示了曲线 $y = g(x)$ 的一部分。 $(2, 8)$ 和 $(6, 1)$ 是曲线上的两个点。已知 $\int_{2}^{6} y \text{ } dx = 32$ ，求 $\int_{1}^{8} x \text{ } dy$ …
5函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}{2}^{x}-2\;,\;x\leqslant 1\;,\;\\ {\log}_{2}\left(x-1\right)\;,\;x>1\end{cases}\;$ 则 $f\left[f\left(\dfrac{5}{2}\right)\right]=$ …
6设函数 $f\left(x\right)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且对任意 $x∈R$ 都有 $f\left(x\right)=f\left(x+4\right)$ ，当 $x∈\left(0,2\right)$ 时， $f\left(x\right)={2}^{x}$ …
7已知 $\sqrt{125^x} = \dfrac{5^{1-x}}{25}$ ，求 $\sqrt{125^x}$ 的值。证明 $\log_2 x - \log_{16} x = \dfrac{3\lg x}{4\lg 2}$ 。
8方程 $3^{2x-1}=4(3^x)$ 的解可以表示为 $\dfrac{\ln p}{\ln q}$ 。求 $p$ 和 $q$ 的值。将方程 $\log_{16}(3y-1)+\tfrac{1}{2}=\log_{4}(3y)$ 的…
9若“ $m>a$ ”是“函数 $f(x)=\:(\dfrac{1}{3})^{x}+m-\dfrac{1}{3}$ 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数 $a$ 能取的最大整数为___.
10将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。将 $\frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}$ 表示为部分分式。由此，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{8x+13}{(1+2x)(2+x)^2}\,\mathrm{d}x$ …
11已知 $u = 2^x$ ，将 $2^{x+1} = 5(2^x) + 3$ 表示为关于 $u$ 的方程。由此求出使得 $2^{x+1} = 5(2^x) + 3$ 成立的 $x$ 的值，结果保留 2 位有效数字。
12一条曲线的方程由 $y = 5xe^{2x+1}$ 给出。求 $\frac{dy}{dx}$ 。由此，求 $\int xe^{2x+1} \text{ d}x$ 。确定使 $y$ 是递减函数的 $x$ 值范围。
13使用代换 $u = 7^x$ ，解方程 $7^{2x+2}-4(7^{x+1})-5=0$ ，并证明该解可以写成 $\log_a b -1$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是待确定的整数。解方程 $\log_3(2x-1)-\log_9(x^2+2)=\log_{25}5$ …
14化简求值： $(1)0.{064}^{- \frac{1}{3}}-( \dfrac{1}{8}{)}^{0}+{16}^{ \frac{3}{4}}+0.{25}^{ \frac{1}{2}} (2)\dfrac{1}{2} \lg 25+\lg 2+( \dfrac{1}{3}{)}^{{\log }_{3}2} -\log _{2}9×\log _{3}2.$ …
15将 $\dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}$ 表示为部分分式。由此计算 $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac{2x^{2}+3x}{x^{2}+3x+2}\,dx$ 。已知 $y = x\ln\left(x^{2}+3x+2\right)$ …
16求 $\ln\left(\frac{3x}{x^2+1}\right)$ 关于 $x$ 的导数。由此求出 $\displaystyle \int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ 。
17已知 $u = \left(\dfrac{3}{2}\right)^x$ ，将 $9^x + 6^x = 6(4^x)$ 表示为关于 $u$ 的一元二次方程。由此或通过其他方法，解方程 $9^x + 6^x = 6\bigl(4^x\bigr)$ …
18解方程 $x + 1 + \sqrt{5 - x} = 0$ 。解方程 $\log_x(2x-1) = \log_{x^2}(4-5x)$ 。
19将 $\frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)}$ 表示为部分分式。由此求 $\int_{0}^{1} \frac{2x+15}{(3+x)(3-2x)} \, dx$ 的值。
20已知 $m>1$ ， $n>1$ ，且 $\ln m-\ln n=2n-m$ ，下列结论正确的是 $(\quad)$ ① $(\dfrac{1}{2})^{m}< (\dfrac{1}{2})^{n}$ ；② $\dfrac{n}{m}>\dfrac{n+1}{m+1}$ …
21已知曲线方程为 $y = e^{-2x}\tan x$ 。证明 $\dfrac{dy}{dx} = e^{-2x}(1 - \tan x)^2$ 。用含 $\pi$ 的式子表示当 $0 < x < \dfrac{\pi}{2}$ 时驻点的…
22点 A 在曲线 $y = x \ln x^2$ （ $x > 0$ ）上。曲线在点 A 处的切线平行于直线 $y - 3x = 1$ 。曲线 $y = x \ln x^2$ 在点 A 处的法线与直线 $y - 3x = 1$ 交于点 B。求点…
23解方程 $\log_3 x - 3\log_x 9 = 1$ 。
24解方程 $2^{4p+1} + 20(4^{p-1}) = 3$ 。解释为什么当 $k < -3\frac{1}{8}$ 时，方程 $2^{4p+1} + 20(4^{p-1}) = k$ 无解。
25若函数 $f(x)=\dfrac{e^{x-1}}{x}$ ， $g(x)=\dfrac{x}{1+\ln x}$ ，存在 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 使得 $f({x}_{1})=g({x}_{2})$ ，则下列说法不正确的是 $(\quad)$ …
26通过使用适当的换元法，解方程 $e^{\frac{1}{2}x} = 2 + 24 e^{-\frac{1}{2}x}$ 。
27证明方程 $3e^{2x}+7e^{x}=6$ 只有一个解，并求其精确到 2 位有效数字的值。将 $(3x + 1)^3 - 8$ 彻底因式分解。
28下表给出了 $x$ 和 $y$ 的测量值。 | $x$ | 1.2 | 1.6 | 2.0 | 2.6 | 3.5 | 4.5 | |---|---|---|---|---|---|---| | $y$ | 11.1 | 6.29 | 3.…
29已知 $4^{x+1} \times 5^{2x-3} = 10^{3x}$ ，求 $10^x$ 的值。由此，解方程 $4^{x+1} \times 5^{2x-3} = 10^{3x}$ 。
30下表显示了 $x$ 和 $y$ 的实验值。 | $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | $y$ | 11.8 | 16.2 | 23.5 | 35.5 | 55.2 | 已…
31在 $y=3^{x}$ ， $y=\log _{0.3}x$ ， $y=x^{3}$ ， $y= \sqrt {x}$ ，这四个函数中当 $0 < x_{1} < x_{2} < 1$ 时，使 $f( \dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}) < \dfrac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$ …
32一条曲线由方程 $y = \ln\left(\frac{\text{e}^x}{x^2 + 10}\right)$ 定义。证明对于所有实数 $x$ ，该曲线没有极值点。
33解下列方程。 $5^x - 5^{\frac{x}{2}+1} = 6$ ， $2\lg(x - 3) - \lg(x + 7) = \frac{1}{\log_{100} 10}$ 。
34在 $t$ 小时后，细菌数量 $P$ 满足模型 $P = P_0(2^t)$ ，其中 $P_0$ 是一个常数。求细菌数量达到其初始大小的 100 倍所需的最少小时数（精确到最接近的小时）。草绘 $P$ 关于 $t$ 的图象。
35草拟 $y = 3^x$ 的图像。为了求解方程 $\log_9(5-x) = \frac{x}{2}$ ，需要在与 $y = 3^x$ 图像相同的坐标系中画一条合适的直线。求这条直线的方程。指出方程 $\log_9(5-x) = \frac{x}{2}$ …
36一个金属正方体在被放入液体中之前被加热到 $212^\circ\text{C}$ 的温度。随着正方体冷却，它在进入液体后 $t$ 分钟的温度 $T^\circ\text{C}$ 由 $T = P + 180e^{-kt}$ 给出，其中 $P$ …
37已知函数 $f(x)=2x^{2}-4x+a$ ，函数 $g(x)=\log_{a}x(a>0,$ 且 $a≠1).(1)$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,2m]$ 上不具有单调性，求实数 $m$ 的取值范围； (2)若 $f(1)=g(1).\:$ …
38证明方程 $2^{3x+4}\times 5^{2x-1}=16^{x}\times 5^{3x}$ 的解为 $\lg\dfrac{16}{5}$ 。将 $2\log_{2}x-\log_{2}(x-4)=3$ 表示为关于 $x$ …
39一锅融化的巧克力从其初始温度冷却到温度 $T^\circ\text{C}$ 需要 $x$ 分钟，并符合形式为 $T = A(B^x)$ 的方程，其中 $A$ 和 $B$ 是常数。巧克力的凝固点是 $17^\circ\text{C}$ 。下表…
40在一项实验中，一个容器内储存了 500 万个细胞。观察发现，每分钟有 40% 的细胞死亡。在 $t$ 分钟后剩余的细胞数量 $N$ 由 $N = A e^{k t}$ 给出，其中 $A$ 和 $k$ 是常数。解释为什么 $k = \ln \frac{3}{5}$ …
41分别求函数 $y = \ln x$ 和 $y = \ln 2x$ 的导数。解释为什么在第 (i) 问中，拥有相同的导数并不意味着这两个函数是同一个函数。
42下表给出了两个变量 $x$ 与 $y$ 的实验值。已知 $x$ 与 $y$ 通过形如 $y = h(x+1)^k$ 的方程相关联，其中 $h$ 和 $k$ 为常数。 | $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|…
43解下列方程。 $\log_2(x+4) = 2\log_2 x - 1$ $10\log_y 5 + 3 = \log_5 y$
44若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x+y+1=0$ ，则点 $P$ 的坐标为 ___ ．
45画出 $y = \log_2(3x + 1)$ 的图像草图，并标出 $x = \frac{1}{3}$ 的点。解释为什么 $x > -\frac{1}{3}$ 。解方程 $\log_2(3x + 1) + \frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(3x - 1) = 1$ …
46本题不接受通过精确作图得出的解。 $ABCD$ 是一个梯形，其中 $AD$ 平行于 $BC$ 且垂直于 $AB$ 。 $E$ 是 $AD$ 上的一个点，且 $BE$ 穿过原点。点 $B$ 、 $C$ 和 $D$ 的坐标分别为 $(3, -2)$ …
47图示为曲线 $y = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1} {2}\ln\left(\frac{x}{3}\right)$ 的一部分，且 $P(3,\,2.25)$ 是该曲线上的一点。利用微积分，写出完整的计算过程，判断…
48某种细菌的数量 $n$ 随着时间 $t$ （分钟）而增加。记录的 $n$ 和 $t$ 的值如下表所示。 | t | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |---|---:|---:|---:|---:|---:| | n | 3215…
49 $a\otimes b=\begin{cases} b, \\ a, \\ \end{cases}\begin{matrix} a\geqslant b \\ a < b \\ \end{matrix}f\left( x \right)={{3}^{-x}}\otimes {{3}^{x}}$ …
50已知 $\log_a 8 + 3\log_a N = 3$ 且 $N > \frac{1}{4}$ ，求 $a$ 的取值范围。解方程 $\log_3 x - \log_x 3x - 2 = 0$ 。
51将 $\dfrac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}$ 展开为部分分式。求 $\ln\left(x^2 + 4\right)$ 对 $x$ 的导数。利用前两部分的结论，求 $\displaystyle \int_0^1 \frac{8 - 3x}{(2x + 3)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$ …
52下表记录了行星距离太阳中心的近似平均距离 $x$ （单位：百万千米）以及公转周期 $T$ （单位：地球年）。 | | 水星 | 金星 | 火星 | 天王星 | |---|---|---|---|---| | $x$ | 58 | 108 | 2…
53已知 $\frac{(\log_y x)^2}{\log_x y} + 64 = 0$ ，用 $x$ 表示 $y$ 。解方程 $\log_2 x + 3 = 2\log_2(x - 1)$ 。
54解方程 $9^{x+1} - 3^{x+2} = 2\left(3^{x+1} - 2\right)$ 。已知 $\log_3(2x-1) = \log_9(2x-1) + 1$ ，求 $x$ 的值。已知 $\log_a xy = m$ 且…
55函数 $f(x)={3}^{-{x}^{2}+2ax}$ 在区间 $(-∞,1)$ 内递增，则 $a$ 的取值范围是___。
56关于函数 $f(x)=\begin{cases}{2^{x}-a,0\leqslant x< 2}\\ {b-x,x\geqslant 2}\end{cases}$ ，其中 $a$ ， $b\in R$ ，给出下列四个结论：甲： $6$ …
57证明方程 $2(e^x - 3) = e^{\frac{1}{2}x}$ 只有一个解，并求出该解的值（保留 3 位有效数字）。
58已知 $\log_x p = 9$ 且 $\log_x q = 6$ ，求 $\log_{\frac{p}{q}} x^2$ 的值。解方程 $\lg(3x + 1) + \lg(2x - 1) = 2 - \lg 2$ ，并解释为什么该方程只…
59设 $a={2020}^{ \frac{1}{2019}},b=lo{g}_{2019} \sqrt{2020},c=lo{g}_{2020} \sqrt{2019}$ ，则 $(\:\:\:\:)$ A. $c > b > a$ B…
60定义变量 $x$ 和 $y$ 满足 $\log_{2} x - 3\log_{4} y = \log_{9} 3$ 。给出 $x$ 和 $y$ 必须为正数的理由。用 $y$ 表示 $x$ 。解方程 $5^{x+1} + 2\left(5^{-x}\right) = 11$ …