若“$m>a$”是“函数$f(x)=\:(\dfrac{1}{3})^{x}+m-\dfrac{1}{3}$的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数$a$能取的最大整数为___.

1. 将“图象不过第三象限”转化为数学不等式恒成立问题

第三象限内点的坐标特征为 $x < 0$ 且 $y < 0$。
因此，函数 $f(x) = (\dfrac{1}{3})^x + m - \dfrac{1}{3}$ 的图象不过第三象限，等价于当 $x < 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立。

2. 利用指数函数的单调性求出 $m$ 的取值范围

由于底数 $0 < \dfrac{1}{3} < 1$，所以指数函数 $y = (\dfrac{1}{3})^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。
因此，函数 $f(x) = (\dfrac{1}{3})^x + m - \dfrac{1}{3}$ 在 $\mathbb{R}$ 上也单调递减。
当 $x < 0$ 时，$f(x) > f(0) = 1 + m - \dfrac{1}{3} = m + \dfrac{2}{3}$。
要使当 $x < 0$ 时 $f(x) \geq 0$ 恒成立，只需 $f(0) \geq 0$，即：
$m + \dfrac{2}{3} \geq 0 \implies m \geq -\dfrac{2}{3}$
所以，图象不过第三象限的充要条件为 $m \geq -\dfrac{2}{3}$。

3. 根据必要不充分条件转化为集合的包含关系

设条件 $p: m > a$，条件 $q: m \geq -\dfrac{2}{3}$。
依题意，“$m > a$”是“图象不过第三象限”（即 $m \geq -\dfrac{2}{3}$）的必要不充分条件，
说明由 $q \implies p$，但 $p \not\implies q$。
设集合 $A = \{m \mid m > a\} = (a, +\infty)$，集合 $B = \{m \mid m \geq -\dfrac{2}{3}\} = [-\dfrac{2}{3}, +\infty)$。
由此可知 $B \subsetneq A$，即 $[-\dfrac{2}{3}, +\infty) \subsetneq (a, +\infty)$。

4. 确定实数 $a$ 的取值范围并求最大整数值

根据 $[-\dfrac{2}{3}, +\infty) \subsetneq (a, +\infty)$，可得：
$a < -\dfrac{2}{3}$
由于 $-\dfrac{2}{3} \approx -0.67$，且 $a$ 为整数，
所以 $a$ 能取的最大整数为 $-1$。