已知$m>1$，$n>1$，且$\ln m-\ln n=2n-m$，下列结论正确的是$(\quad)$ ①$(\dfrac{1}{2})^{m}< (\dfrac{1}{2})^{n}$；②$\dfrac{n}{m}>\dfrac{n+1}{m+1}$；③$\log_{m}2021>\log_{n}2021$；④$m-\dfrac{1}{n}>n-\dfrac{1}{m}.$

A. ①④

B. ②③

C. ①②

D. ②④

1. 确定 $m$ 与 $n$ 的大小关系

由已知 $\ln m - \ln n = 2n - m$，移项整理得 $\ln m + m = \ln n + 2n$.
设函数 $f(x) = \ln x + x$ ($x > 0$)，
求导得 $f'(x) = \dfrac{1}{x} + 1 > 0$，所以 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增。
因为 $n > 1$，所以 $2n = n + n > n$，
因此 $f(m) = \ln m + m = \ln n + 2n > \ln n + n = f(n)$.
由于 $f(x)$ 单调递增，故 $m > n > 1$.

2. 判断结论①的真假

由 $m > n > 1$，根据指数函数 $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，可得 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^m < \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
所以结论①正确。

3. 判断结论②的真假

比较 $\dfrac{n}{m}$ 与 $\dfrac{n+1}{m+1}$ 的大小，使用作差法：
$\dfrac{n}{m} - \dfrac{n+1}{m+1} = \dfrac{n(m+1) - m(n+1)}{m(m+1)} = \dfrac{mn+n - (mn+m)}{m(m+1)} = \dfrac{n-m}{m(m+1)}.$
因为 $m > n > 1 > 0$，所以 $n - m < 0$，且 $m(m+1) > 0$，
因此 $\dfrac{n}{m} - \dfrac{n+1}{m+1} < 0$，即 $\dfrac{n}{m} < \dfrac{n+1}{m+1}$.
所以结论②错误。

4. 判断结论③的真假

因为 $m > n > 1$，由对数换底公式可知：
$\log_m 2021 = \dfrac{\ln 2021}{\ln m}$，$\log_n 2021 = \dfrac{\ln 2021}{\ln n}$.
由于 $m > n > 1$，则 $\ln m > \ln n > 0$，所以 $\dfrac{1}{\ln m} < \dfrac{1}{\ln n}$.
因为 $\ln 2021 > 0$，所以 $\log_m 2021 < \log_n 2021$.
所以结论③错误。

5. 判断结论④的真假

要证 $m - \dfrac{1}{n} > n - \dfrac{1}{m}$，只需证 $m + \dfrac{1}{m} > n + \dfrac{1}{n}$.
设函数 $g(x) = x + \dfrac{1}{x}$ ($x > 1$)，
求导得 $g'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$.
当 $x > 1$ 时， $x^2 > 1$，所以 $g'(x) > 0$，从而 $g(x)$ 在 $(1, +\infty)$ 上单调递增。
由于 $m > n > 1$，因此 $g(m) > g(n)$，即 $m + \dfrac{1}{m} > n + \dfrac{1}{n}$ 成立，
所以结论④正确。

综上所述，结论①④正确，故选 A。