已知函数$f(x)=2x^{2}-4x+a$，函数$g(x)=\log_{a}x(a>0,$且$a≠1).(1)$若函数$f(x)$在区间$[-1,2m]$上不具有单调性，求实数$m$的取值范围； (2)若$f(1)=g(1).\:$ ①求实数$a$的值； ②设${{t}_{1}}=\tfrac{1}{2}f(x),{{t}_{2}}=g(x),{{t}_{3}}={{2}^{x}},当\text{x}\in(0,1)$时，试比较$t_{1}$，$t_{2}$，$t_{3}$的大小。

1. 确定二次函数的对称轴

二次函数 $f(x)=2x^{2}-4x+a$ 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线 $x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1$。

2. 根据区间不单调性建立不等式

若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,2m]$ 上不具有单调性，则该区间的端点必须分布在对称轴 $x=1$ 的两侧，且区间必须存在，即对称轴 $x=1$ 在区间 $[-1, 2m]$ 的内部。
因此，$-1 < 1 < 2m$。

3. 解不等式求出 $m$ 的范围

由 $2m > 1$ 解得 $m > \frac{1}{2}$。
所以，实数 $m$ 的取值范围是 $m > \frac{1}{2}$（或写成 $(\frac{1}{2}, +\infty)$）。

1. 求出 $f(1)$ 和 $g(1)$ 的表达式

由题意，将 $x=1$ 代入函数解析式中得：
$f(1) = 2(1)^{2} - 4(1) + a = a - 2$
$g(1) = \log_{a}1 = 0$

2. 建立方程并求解 $a$

因为 $f(1) = g(1)$，所以 $a - 2 = 0$，解得 $a = 2$。
经检验，当 $a=2$ 时，满足对数底数 $a>0$ 且 $a \neq 1$ 的条件，符合题意。

1. 代入 $a=2$ 写出 $t_1, t_2, t_3$ 的解析式

由第①问可知 $a = 2$，代入解析式得：
$t_{1} = \frac{1}{2}f(x) = \frac{1}{2}(2x^2-4x+2) = x^2-2x+1 = (x-1)^2$
$t_{2} = g(x) = \log_{2}x$
$t_{3} = 2^{x}$

2. 分析各变量在区间 $x \in (0,1)$ 的取值范围并比较大小

当 $x \in (0,1)$ 时：

• 对于 $t_1 = (x-1)^2$，因为 $x-1 \in (-1, 0)$，所以 $t_1 \in (0,1)$，即 $0 < t_1 < 1$；
• 对于 $t_2 = \log_{2}x$，由于底数 $2>1$ 为单调递增函数，当 $0 < x < 1$ 时，$\log_{2}x < \log_{2}1 = 0$，即 $t_2 < 0$；
• 对于 $t_3 = 2^{x}$，由于底数 $2>1$ 为单调递增函数，当 $0 < x < 1$ 时，$2^0 < 2^x < 2^1$，即 $1 < t_3 < 2$，因而 $t_3 > 1$。
  综上所述，可得 $t_2 < 0 < t_1 < 1 < t_3$，即 $t_2 < t_1 < t_3$。