若函数$f(x)=\dfrac{e^{x-1}}{x}$，$g(x)=\dfrac{x}{1+\ln x}$，存在$x_{1}$、$x_{2}$使得$f({x}_{1})=g({x}_{2})$，则下列说法不正确的是$(\quad)$

A. 若$x_{1}>x_{2}$，则$x_{2}< 1$

B. 若$x_{1}< x_{2}$，则$x_{1}< 1$

C. 存在$x_{1}=x_{2}$

D. 存在$x_{0}$，使得当$x_{1}>x_{0}$，$x_{2}>x_{0}$时，$|x_{2}-x_{1}|$的值随着$x_{1}$、$x_{2}$的增大而增大

1. 分析函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的定义域、单调性及它们之间的恒等关系

由题意，函数 $f(x) = \dfrac{e^{x-1}}{x}$（$x \neq 0$），$g(x) = \dfrac{x}{1+\ln x}$（$x > 0$ 且 $x \neq e^{-1}$）。
注意到若取 $x_2 = e^{x_1 - 1}$，代入 $g(x)$ 可得：
$g(x_2) = g\left(e^{x_1 - 1}\right) = \dfrac{e^{x_1 - 1}}{1 + \ln\left(e^{x_1 - 1}\right)} = \dfrac{e^{x_1 - 1}}{1 + x_1 - 1} = \dfrac{e^{x_1 - 1}}{x_1} = f(x_1)$
因此，对任意 $x_1 > 0$，只需取 $x_2 = e^{x_1 - 1}$，即可使 $f(x_1) = g(x_2)$ 成立。

2. 判断选项 C 和 A 的真假

对于 C 选项：当 $x_1 = 1$ 时，$x_2 = e^{1-1} = 1$，此时 $f(1) = g(1) = 1$，存在 $x_1 = x_2 = 1$，故 C 正确；

对于 A 选项：用导数分析可知，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，最小值为 $f(1)=1$；$g(x)$ 在 $(e^{-1},1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，最小值为 $g(1)=1$。
若 $x_2 \ge 1$，由 $x_2 = e^{x_1-1}$ 且当 $t \neq 0$ 时 $e^t > t+1$，可得对大于 $1$ 的根有 $x_2 = e^{x_1-1} > x_1$；对另一支的根，$x_2 \ge 1 > x_1$ 同样成立。因此当 $x_2 \ge 1$ 时必有 $x_2 > x_1$。故若 $x_1 > x_2$，必有 $x_2 < 1$，故 A 正确。

3. 判断选项 B 的真假并举反例

对于 B 选项：取 $x_1 = 2 > 1$，则 $x_2 = e^{2-1} = e \approx 2.718$。
此时 $f(2) = \dfrac{e}{2}$，$g(e) = \dfrac{e}{1+\ln e} = \dfrac{e}{2}$，满足 $f(x_1) = g(x_2)$。
且 $x_1 = 2 < x_2 = e$ 成立，但 $x_1 = 2 > 1$，与“$x_1 < 1$”矛盾，故 B 不正确。

4. 判断选项 D 的真假并得出结论

对于 D 选项：取 $x_0 = 1$，当 $x_1 > 1$ 且 $x_2 > 1$ 时，$x_2 = e^{x_1-1} > x_1 > 1$。
此时 $|x_2 - x_1| = e^{x_1-1} - x_1$。
设 $h(x) = e^{x-1} - x$（$x > 1$），则 $h'(x) = e^{x-1} - 1 > 0$，所以 $h(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增。
随着 $x_1$ 增大，$x_2 = e^{x_1-1}$ 也增大，且 $|x_2 - x_1| = h(x_1)$ 随之增大，故 D 正确。

综上，不正确的说法是 B。