函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}{2}^{x}-2\;,\;x\leqslant 1\;,\;\\ {\log}_{2}\left(x-1\right)\;,\;x>1\end{cases}\;$ 则 $f\left[f\left(\dfrac{5}{2}\right)\right]=$
A. $-\dfrac{1}{2}$
B. $-1$
C. $-5$
D. $\dfrac{1}{2}$

它不会直接告诉你答案，而是问你卡在哪一步看看 AI 是怎么陪你一步步弄懂这道题的

完整解法

1. 计算内层函数值 $f\left(\dfrac{5}{2}\right)$

由于 $\dfrac{5}{2} > 1$ ，根据分段函数的定义，应代入 $x > 1$ 时的解析式 $f(x) = \log_{2}(x-1)$ 。
$f\left(\dfrac{5}{2}\right) = \log_{2}\left(\dfrac{5}{2}-1\right) = \log_{2}\dfrac{3}{2}$

2. 判断内层函数值所在的区间，以选择外层函数的解析式

因为 $1 < \dfrac{3}{2} < 2$ ，所以 $0 < \log_{2}\dfrac{3}{2} < 1$ 。
即 $f\left(\dfrac{5}{2}\right) \leqslant 1$ ，因此计算外层函数 $f\left[f\left(\dfrac{5}{2}\right) ight]$ 时，应代入 $x \leqslant 1$ 时的解析式 $f(x) = 2^{x}-2$ 。

3. 计算外层函数值，得出最终结果

将 $x = \log_{2}\dfrac{3}{2}$ 代入解析式计算：

ight] = f\left(\log_{2}\dfrac{3}{2}\right) = 2^{\log_{2}\frac{3}{2}} - 2$$ 利用对数恒等式 $a^{\log_{a}N} = N$，可得： $$2^{\log_{2}\frac{3}{2}} - 2 = \dfrac{3}{2} - 2 = -\dfrac{1}{2}$$ 对照选项，答案为 A。

答案

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