设a=202012019,b=log20192020,c=log20202019a={2020}^{ \frac{1}{2019}},b=lo{g}_{2019} \sqrt{2020},c=lo{g}_{2020} \sqrt{2019},则(    )(\:\:\:\:)
A. c>b>ac > b > a
B. c>a>bc > a > b
C. b>a>cb > a > c
D. a>b>ca > b > c

先不看答案,让 AI 诊断你卡在哪里?

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完整解法

1. 估算 $a$ 的范围,将其与 $1$ 进行比较

根据指数幂的性质,由于底数 2020>12020 > 1,且指数 12019>0\dfrac{1}{2019} > 0,
故有 a=202012019>20200=1a = 2020^{\frac{1}{2019}} > 2020^0 = 1。
即 a>1a > 1。

2. 估算 $b$ 与 $c$ 的范围,将其与 $1$ 及 $\dfrac{1}{2}$ 进行比较

对于 bb:
b=log⁡20192020=12log⁡20192020b = \log_{2019} \sqrt{2020} = \dfrac{1}{2} \log_{2019} 2020
因为 2020>2019>12020 > 2019 > 1,所以 log⁡20192020>1\log_{2019} 2020 > 1,从而有 b>12b > \dfrac{1}{2};
同时因为 2020<201922020 < 2019^2,所以 log⁡20192020<2\log_{2019} 2020 < 2,从而有 b<1b < 1。
即 12<b<1\dfrac{1}{2} < b < 1。

对于 cc:
c=log⁡20202019=12log⁡20202019c = \log_{2020} \sqrt{2019} = \dfrac{1}{2} \log_{2020} 2019
因为 1<2019<20201 < 2019 < 2020,所以 0<log⁡20202019<10 < \log_{2020} 2019 < 1,从而有 0<c<120 < c < \dfrac{1}{2}。

3. 综合得出 $a, b, c$ 的大小关系并选出正确选项

综合上述讨论:
因为 a>1a > 1,12<b<1\dfrac{1}{2} < b < 1,0<c<120 < c < \dfrac{1}{2},
所以 a>b>ca > b > c。
故选 D。

答案

D

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