已知α，β是关于x的方程（x-a）（x-b）-1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（ ）

A. α＜a＜b＜β

B. a＜α＜β＜b

C. a＜α＜b＜β

D. α＜a＜β＜b

1. 将方程转化为函数交点问题，分析基准二次函数

设二次函数为 $g(x) = (x-a)(x-b)$。
此二次函数的图象是一条开口向上的抛物线。令 $g(x) = 0$，即 $(x-a)(x-b) = 0$ 的根为 $x = a$ 和 $x = b$，即抛物线与 $x$ 轴的两个交点横坐标为 $a$ 和 $b$。

2. 通过图象交点法定位方程的根 $\alpha$ 和 $\beta$

原方程 $(x-a)(x-b) - 1 = 0$ 可以变形为 $(x-a)(x-b) = 1$。
因此，$\alpha$ 和 $\beta$ 是二次函数 $y = g(x)$ 与直线 $y = 1$ 交点的横坐标。
不妨设 $\alpha < \beta$，且 $a < b$。

3. 利用开口方向和 y 值大小比较横坐标范围

因为抛物线 $y = g(x)$ 开口向上，且 $1 > 0$（即直线 $y = 1$ 在 $x$ 轴 $y = 0$ 的上方），
所以当函数值大于 $0$ 时，对应的自变量 $x$ 应该在两根之外。
即 $g(x) = 1$ 的两根 $\alpha, \beta$ 分布在 $g(x) = 0$ 的两根 $a, b$ 的外侧。
由此可得 $\alpha < a$ 且 $\beta > b$。

4. 得出最终的大小关系并选择选项

综上所述，当 $a < b$ 时，大小关系为 $\alpha < a < b < \beta$；
同理，若 $b < a$，则 $\alpha < b < a < \beta$。
结合选项，只有 A 项 $\alpha < a < b < \beta$ 符合要求。

故选：A。