已知函数$f(x)=e^{x}$，$g(x)= \dfrac {a}{2}x+b(a,b∈R)$， (1)若$h(x)=f(x)g(x)$，$b=1- \dfrac {a}{2}.$求$h(x)$在$[0,1]$上的最大值$φ(a)$的表达式； (2)若$a=4$时，方程$f(x)=g(x)$在$[0,2]$上恰有两个相异实根，求实根$b$的取值范围．

1. 求出 $h(x)$ 的解析式及其导函数 $h'(x)$

将 $b = 1 - \dfrac{a}{2}$ 代入 $g(x)$，得 $g(x) = \dfrac{a}{2}x + 1 - \dfrac{a}{2}$。
则 $h(x) = f(x)g(x) = e^x \left( \dfrac{a}{2}x + 1 - \dfrac{a}{2} \right)$
对 $h(x)$ 求导：
$h'(x) = e^x \left( \dfrac{a}{2}x + 1 - \dfrac{a}{2} \right) + e^x \cdot \dfrac{a}{2} = e^x \left( \dfrac{a}{2}x + 1 \right)$

2. 分情况讨论 $h'(x)$ 在 $[0,1]$ 上的正负，确定单调性并求最大值

由于 $e^x > 0$，$h'(x)$ 的符号由 $\dfrac{a}{2}x + 1$ 决定。
① 当 $a \ge 0$ 时，对于 $x \in [0,1]$，有 $\dfrac{a}{2}x + 1 > 0$，则 $h'(x) > 0$，$h(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。
故 $h(x)$ 的最大值为 $\varphi(a) = h(1) = e^1 \left( \dfrac{a}{2} + 1 - \dfrac{a}{2} \right) = e$。

② 当 $a < 0$ 时，令 $h'(x) = 0$，解得驻点 $x_0 = -\dfrac{2}{a} > 0$。

• 若 $x_0 \ge 1$，即 $-\dfrac{2}{a} \ge 1 \implies -2 \le a < 0$，则在 $x \in [0,1]$ 上，$h'(x) \ge 0$，$h(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。
  故最大值为 $\varphi(a) = h(1) = e$。
• 若 $x_0 < 1$，即 $-\dfrac{2}{a} < 1 \implies a < -2$，则在 $x \in \left[0, -\dfrac{2}{a}\right)$ 上 $h'(x) > 0$，$h(x)$ 单调递增；在 $x \in \left(-\dfrac{2}{a}, 1\right]$ 上 $h'(x) < 0$，$h(x)$ 单调递减。
  故 $h(x)$ 在 $x = -\dfrac{2}{a}$ 处取得最大值：
  $\varphi(a) = h\left(-\dfrac{2}{a}\right) = e^{-\frac{2}{a}} \left[ \dfrac{a}{2}\left(-\dfrac{2}{a}\right) + 1 - \dfrac{a}{2} \right] = -\dfrac{a}{2} e^{-\frac{2}{a}}$

3. 总结最大值 $\varphi(a)$ 的分段表达式

综上所述，$\varphi(a)$ 的表达式为：
$\varphi(a) = \begin{cases} e, & a \ge -2 \\ -\dfrac{a}{2} e^{-\frac{2}{a}}, & a < -2 \end{cases}$

1. 将方程转化为函数与常数 $b$ 的交点问题

当 $a = 4$ 时，$g(x) = 2x + b$。
方程 $f(x) = g(x)$ 即 $e^x = 2x + b$，变形为 $b = e^x - 2x$
设函数 $F(x) = e^x - 2x$ ($x \in [0,2]$)，则原方程在 $[0,2]$ 上恰有两个相异实根，等价于直线 $y = b$ 与曲线 $y = F(x)$ 在 $[0,2]$ 上恰有两个不同的交点。

2. 求导分析 $F(x)$ 在 $[0,2]$ 上的单调性与极值

对 $F(x)$ 求导，得 $F'(x) = e^x - 2$。
令 $F'(x) = 0$，解得 $x = \ln 2$。
因为 $\ln 2 \in (0,2)$，所以：

• 当 $x \in [0, \ln 2)$ 时，$F'(x) < 0$，$F(x)$ 单调递减；
• 当 $x \in (\ln 2, 2]$ 时，$F'(x) > 0$，$F(x)$ 单调递增。

极小值（也是最小值）为 $F(\ln 2) = e^{\ln 2} - 2\ln 2 = 2 - 2\ln 2$

3. 计算端点值并确定 $b$ 的取值范围

计算区间端点的函数值：

• $F(0) = e^0 - 0 = 1$
• $F(2) = e^2 - 4$

因为 $e \approx 2.718$，所以 $e^2 - 4 > 2.718^2 - 4 \approx 3.389 > 1$。
即 $F(\ln 2) < F(0) < F(2)$。
要使直线 $y = b$ 与 $y = F(x)$ 在 $x \in [0,2]$ 上有两个不同的交点，需满足：
$F(\ln 2) < b \le F(0)$
即 $2 - 2\ln 2 < b \le 1$