设$a\in R$，若$x\leqslant 0$时，恒有$(ax+1)(x^{2}-x-2a)\leqslant 0$，则$a=$___.

1. 分析 $a=0$ 的情况

当 $a=0$ 时，不等式变为 $1 \cdot (x^2-x) \leqslant 0$，即 $x(x-1) \leqslant 0$，解得 $0 \leqslant x \leqslant 1$。
这显然不能在 $x \leqslant 0$ 时恒成立。因此 $a=0$ 不合题意。

2. 分析 $a<0$ 的情况

当 $a<0$ 时，对于任意的 $x \leqslant 0$，有 $ax \geqslant 0$，从而 $ax+1 \geqslant 1 > 0$。
若要使恒有 $(ax+1)(x^2-x-2a) \leqslant 0$，则必须有 $x^2-x-2a \leqslant 0$ 对任意 $x \leqslant 0$ 恒成立。
然而，二次函数 $g(x) = x^2-x-2a$ 的图象开口向上，当 $x \to -\infty$ 时，$g(x) \to +\infty$，因此不可能在 $x \leqslant 0$ 时恒有 $g(x) \leqslant 0$。
故 $a<0$ 无解。

3. 分析 $a>0$ 的情况并建立方程

当 $a>0$ 时，一次函数 $y=ax+1$ 的零点为 $x = -\frac{1}{a} < 0$。

• 当 $x < -\frac{1}{a}$ 时，$ax+1 < 0$，要使 $(ax+1)(x^2-x-2a) \leqslant 0$，必须有 $x^2-x-2a \geqslant 0$；
• 当 $-\frac{1}{a} < x \leqslant 0$ 时，$ax+1 > 0$，要使 $(ax+1)(x^2-x-2a) \leqslant 0$，必须有 $x^2-x-2a \leqslant 0$。
  因为二次函数 $g(x) = x^2-x-2a$ 开口向上，且 $g(0) = -2a < 0$，说明在区间 $[-\frac{1}{a}, 0]$ 上 $g(x) \leqslant 0$，在 $(-\infty, -\frac{1}{a})$ 上 $g(x) \geqslant 0$。
  这就要求 $x = -\frac{1}{a}$ 恰好是 $g(x) = 0$ 的一个根（即较小的那个实根）。
  将 $x = -\frac{1}{a}$ 代入 $x^2-x-2a = 0$，得：
  \left(-\frac{1}{a}\right)^2 - \left(-rac{1}{a}\right) - 2a = 0

4. 求解方程并进行检验

由 $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{a} - 2a = 0$，两边同乘 $a^2$（由于 $a>0$）整理得：
$2a^3 - a - 1 = 0$
因式分解得：
$(a-1)(2a^2+2a+1) = 0$
因为 $2a^2+2a+1 = 2\left(a+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} > 0$ 恒成立，所以方程唯一的实数解为 $a=1$。
当 $a=1$ 时，原不等式为 $(x+1)(x^2-x-2) \leqslant 0$，即 $(x+1)^2(x-2) \leqslant 0$。
因为 $(x+1)^2 \geqslant 0$，当 $x \leqslant 0$ 时 $x-2 \leqslant -2 < 0$，所以不等式确实恒成立。
综上所述，满足题意的 $a$ 值为 $1$。