对$\forall x\in R$，用$M(x)$表示$f(x),g(x)$中的较大者，记为$M(x)=\max\{f(x),g(x)\}$，若$M(x)=\{-x+3,{{(x-1)}^{2}}\}$，则$M(x)$的最小值为$(\quad).$

A. $-1$

B. $0$

C. $1$

D. $4$

1. 求两函数图象交点的横坐标

令 $f(x) = -x+3$ 且 $g(x) = (x-1)^2$.
联立两函数解析式得：$-x+3 = (x-1)^2$.
展开并整理得：$x^2 - x - 2 = 0$.
解得 $x_1 = -1$ 或 $x_2 = 2$.
当 $x = -1$ 时，两函数值均为 $4$；当 $x = 2$ 时，两函数值均为 $1$.

2. 通过比较大小，写出分段函数 $M(x)$ 的解析式

比较 $-x+3$ 与 $(x-1)^2$ 的大小：
解不等式 $-(x-3) > (x-1)^2$，即 $x^2 - x - 2 < 0$，解得 $-1 < x < 2$.
在此区间内，$f(x) > g(x)$，故 $M(x) = -x+3$.
当 $x \leqslant -1$ 或 $x \geqslant 2$ 时，$(x-1)^2 \geqslant -x+3$，故 $M(x) = (x-1)^2$.
因此，分段函数 $M(x)$ 的解析式为：
$M(x) = \begin{cases} (x-1)^2, & x \leqslant -1 \text{ 或 } x \geqslant 2 \\ -x+3, & -1 < x < 2 \end{cases}$

3. 分析各区间上的最值，求出全局最小值

分区间讨论 $M(x)$ 的最小值：

1. 当 $x \leqslant -1$ 时，$M(x) = (x-1)^2$，因为对称轴为 $x = 1$，所以在 $(-\infty, -1]$ 上单调递减，其最小值为 $M(-1) = 4$；
2. 当 $x \geqslant 2$ 时，$M(x) = (x-1)^2$，在 $[2, +\infty)$ 上单调递增，其最小值为 $M(2) = 1$；
3. 当 $-1 < x < 2$ 时，$M(x) = -x+3$ 单调递减，值域为 $(1, 4)$.
   综上所述，函数 $M(x)$ 的最小值为 $1$（在 $x=2$ 处取得）.
   故选 C.