已知函数$f(x)=1- \dfrac {2}{2a^{x-1}+1}(a > 0$且$a\neq 1)$是定义在$R$上的奇函数． $($Ⅰ$)$求实数$a$的值； $($Ⅱ$)$ 证明函数$f(x)$在$R$上是增函数； $($Ⅲ$)$当$x∈[1,+∞)$时，$mf(x)\leqslant 2^{x}-2$恒成立，求实数$m$的取值范围．

1. 利用奇函数的定义求出待定系数 $a$ 的值

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，所以其在 $x=0$ 处有定义，且必有 $f(0) = 0$。
代入 $x=0$ 得：
$f(0) = 1 - \dfrac{2}{2a^{0-1} + 1} = 1 - \dfrac{2}{2a^{-1} + 1} = 0$
从而有 $\dfrac{2}{\frac{2}{a} + 1} = 1$，解得 $\dfrac{2}{a} = 1$，即 $a = 2$。

2. 验证 $a=2$ 时函数确为奇函数

当 $a=2$ 时，$f(x) = 1 - \dfrac{2}{2^x + 1} = \dfrac{2^x - 1}{2^x + 1}$。
其定义域为 $\mathbb{R}$，且对于任意 $x \in \mathbb{R}$，有：
$f(-x) = \dfrac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1} = \dfrac{\frac{1}{2^x} - 1}{\frac{1}{2^x} + 1} = \dfrac{1 - 2^x}{1 + 2^x} = -f(x)$
所以 $f(x)$ 为奇函数，满足题意。故 $a = 2$。

1. 利用定义法设定变量并作差

由第(Ⅰ)问知 $f(x) = 1 - \dfrac{2}{2^x + 1}$。
任取 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ 且 $x_1 < x_2$。
作差得：
$f(x_1) - f(x_2) = \left(1 - \dfrac{2}{2^{x_1} + 1}\right) - \left(1 - \dfrac{2}{2^{x_2} + 1}\right) = \dfrac{2}{2^{x_2} + 1} - \dfrac{2}{2^{x_1} + 1} = \dfrac{2(2^{x_1} - 2^{x_2})}{(2^{x_1} + 1)(2^{x_2} + 1)}$

2. 判断差值的符号并得出结论

因为 $x_1 < x_2$ 且 $y = 2^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，所以 $2^{x_1} < 2^{x_2}$，即 $2^{x_1} - 2^{x_2} < 0$。
又因为 $2^{x_1} + 1 > 0$ 且 $2^{x_2} + 1 > 0$，
所以 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，即 $f(x_1) < f(x_2)$。
因此，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数。

1. 将恒成立不等式进行变形与参变分离

当 $x \in [1, +\infty)$ 时，$m f(x) \leqslant 2^x - 2$ 恒成立，即：
$m \cdot \dfrac{2^x - 1}{2^x + 1} \leqslant 2^x - 2$
因为 $x \geqslant 1$，所以 $2^x \geqslant 2$，由此可得 $2^x - 1 > 0$ 且 $2^x + 1 > 0$。
因此 $\dfrac{2^x - 1}{2^x + 1} > 0$。
两边同除以该项，分离参数 $m$ 得：
$m \leqslant \dfrac{(2^x - 2)(2^x + 1)}{2^x - 1}$

2. 引入新变量换元简化函数结构

令 $t = 2^x - 1$。
因为 $x \geqslant 1$，所以 $2^x \geqslant 2$，从而有 $t \geqslant 1$。
此时 $2^x = t + 1$，代入上式得：
$m \leqslant \dfrac{(t - 1)(t + 2)}{t} = \dfrac{t^2 + t - 2}{t} = t - \dfrac{2}{t} + 1$

3. 构造新函数并求其在对应区间上的最小值

设 $g(t) = t - \dfrac{2}{t} + 1$，$t \in [1, +\infty)$。
因为函数 $y = t$ 和 $y = -\dfrac{2}{t}$ 在 $[1, +\infty)$ 上均为单调递增函数，所以它们的和函数 $g(t)$ 也在 $[1, +\infty)$ 上单调递增。
因此，当 $t = 1$ 时，$g(t)$ 取得最小值：
$g(t)_{\min} = g(1) = 1 - 2 + 1 = 0$
要使 $m \leqslant g(t)$ 恒成立，必须有 $m \leqslant g(t)_{\min}$，即 $m \leqslant 0$。
所以实数 $m$ 的取值范围为 $m \leqslant 0$。