已知点$P(x_{0},y_{0})$是曲线$C_{1}$上的动点，若抛物线$C_{2}$：$y^{2}=4x$上存在不同的两点$A$、$B$满足$PA$、$PB$的中点均在$C_{2}$上，则$A$、$B$两点的纵坐标是以下方程的解$(\quad)$

A. $y^{2}-2y_{0}y+8x_{0}-y_{0}^{2}=0$

B. $y^{2}-2x_{0}y+8x_{0}-y_{0}^{2}=0$

C. $y^{2}-2y_{0}y+8y_{0}-x_{0}^{2}=0$

D. $y^{2}+2x_{0}y+8x_{0}-y_{0}^{2}=0$

1. 用单一变量表示抛物线 $C_2$ 上的动点 $A$ 和 $B$ 的坐标

设 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$ 是抛物线 $C_2$：$y^2=4x$ 上的两个不同点。
由于点 $A, B$ 在抛物线上，则有：
$x_1 = \dfrac{y_1^2}{4}$，$x_2 = \dfrac{y_2^2}{4}$。
因此，点 $A, B$ 的坐标可以分别表示为：
$A\left(\dfrac{y_1^2}{4}, y_1\right)$，$B\left(\dfrac{y_2^2}{4}, y_2\right)$。

2. 求出线段 $PA$ 和 $PB$ 的中点坐标

已知点 $P(x_0, y_0)$，设 $PA$ 的中点为 $M$，$PB$ 的中点为 $N$。
由中点坐标公式得：
M\left(\dfrac{x_0 + \dfrac{y_1^2}{4}}{2}, \dfrac{y_0 + y_1}{2} ight)
N\left(\dfrac{x_0 + \dfrac{y_2^2}{4}}{2}, \dfrac{y_0 + y_2}{2} ight)。

3. 利用中点在抛物线上列出方程并化简，得出所求的一元二次方程

因为 $PA$ 的中点 $M$ 在抛物线 $C_2$：$y^2=4x$ 上，将其坐标代入抛物线方程得：
$\left(\dfrac{y_0 + y_1}{2}\right)^2 = 4 \cdot \dfrac{x_0 + \dfrac{y_1^2}{4}}{2}$
化简上式：
$\dfrac{(y_0 + y_1)^2}{4} = 2 \left(x_0 + \dfrac{y_1^2}{4}\right)$
$(y_0 + y_1)^2 = 8x_0 + 2y_1^2$
$y_0^2 + 2y_0y_1 + y_1^2 = 8x_0 + 2y_1^2$
$y_1^2 - 2y_0y_1 + 8x_0 - y_0^2 = 0$

同理，因为 $PB$ 的中点 $N$ 也在抛物线上，可得：
$y_2^2 - 2y_0y_2 + 8x_0 - y_0^2 = 0$

由于 $A$ 和 $B$ 是不同的两点，则 $y_1 \neq y_2$。
这表明 $y_1, y_2$ 是关于 $y$ 的方程：
$y^2 - 2y_0y + 8x_0 - y_0^2 = 0$
的两个不同的实数解。

对照选项，正确的方程为 A 选项。
故选 A。