已知等差数列$\{a_{n}\}$的公差$d>0$，前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{2}a_{3}=45$，$a_{1}+a_{4}=14.(1)$求数列$\{a_{n}\}$的通项公式及前$n$项和$S_{n}$； (2)设$b_{n}=\dfrac{S_{n}}{n-\dfrac{1}{2}}$，求数列$\left\{\dfrac{1}{b_{n}b_{n}{}_{+}{}_{1}}\right\}$的前$n$项和$T_{n}.$

1. 利用等差数列的性质求得第2项与第3项的值

因为数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，所以 $a_1 + a_4 = a_2 + a_3 = 14$.
由已知条件得：
$\begin{cases} a_2 a_3 = 45 \\ a_2 + a_3 = 14 \end{cases}$
设 $a_2, a_3$ 为一元二次方程 $x^2 - 14x + 45 = 0$ 的两个根。
解方程可得 $x = 5$ 或 $x = 9$.
由于公差 $d > 0$，所以数列单调递增，故 $a_2 < a_3$，从而有 $a_2 = 5$，$a_3 = 9$.

2. 求通项公式 $a_n$

等差数列的公差 $d = a_3 - a_2 = 9 - 5 = 4$.
从而通项公式 $a_n = a_2 + (n - 2)d = 5 + 4(n - 2) = 4n - 3$.

3. 求前 $n$ 项和 $S_n$

当 $n = 1$ 时，首项 $a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1$.
所以前 $n$ 项和 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(1 + 4n - 3)}{2} = 2n^2 - n$.

1. 求出数列 $\{b_n\}$ 及其相邻项的表达式

由第 (1) 问可知 $S_n = 2n^2 - n = n(2n-1)$.
因为 $b_n = \dfrac{S_n}{n - \frac{1}{2}}$，所以 $b_n = \dfrac{n(2n-1)}{\frac{2n-1}{2}} = 2n$.
从而 $b_{n+1} = 2(n+1) = 2n + 2$.

2. 将数列的通项进行裂项变形

由此可得数列 $\left\{\dfrac{1}{b_n b_{n+1}}\right\}$ 的通项为：
$\dfrac{1}{b_n b_{n+1}} = \dfrac{1}{2n(2n+2)} = \dfrac{1}{4n(n+1)} = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right)$

3. 利用裂项相消法求前 $n$ 项和 $T_n$

从而数列的前 $n$ 项和为：
$T_n = \dfrac{1}{4} \left[ \left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \dots + \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\right) \right]$
$T_n = \dfrac{1}{4} \left( 1 - \dfrac{1}{n+1} \right) = \dfrac{n}{4(n+1)} = \dfrac{n}{4n+4}$.