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数列与级数概念

有限和无限情况下数列与级数的概念。

这个知识点的练习题

  1. 1用裂项相消法证明 ∑r=1N1r+r+1=N+1−1.\sum_{r=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{r} + \sqrt{r+1}} = \sqrt{N+1} - 1.
  2. 2考虑 Sn=21×2×3+22×3×4+23×4×5+…+2n(n+1)(n+2)S_{n}=\dfrac{2}{1\times2\times3}+\dfrac{2}{2\times3\times4}+\dfrac{2}{3\times4\times5}+\ldots+\dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}…
  3. 3数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \ldots 的前 nn 项和为 SnS_{n}，其中 Sn=∑r=1nurS_{n} = \sum_{r=1}^{n} u_{r}。已知 Sn=18−2n+13n−2S_{n} = 18 - \dfrac{2^{n+1}}{3^{n-2}}…
  4. 4利用 sin⁡(A±B)\sin(A \pm B) 的公式，证明 sin⁡(2r+1)θ−sin⁡(2r−1)θ=2cos⁡2rθsin⁡θ.\sin(2r + 1)\theta - \sin(2r - 1)\theta = 2 \cos 2r\theta \sin \theta . 由此，求出用 sin⁡(2n+1)θ\sin(2n + 1)\theta…
  5. 5已知定义：在数列{an}\{a_{n}\}中，若an2−an−12=p(n⩾2,n∈N∗,pa_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}=p(n\geqslant 2,n∈N^{*},p为常数))，则称数列{an}\{a_{n}\}为等方差数列，下列判断： ①{(−1)n}①\{(-1)^{n}\}…
  6. 6验证 3(r+1)!−2r!−1(r−1)!=−r2+3r+1(r+1)!\dfrac{3}{(r+1)!} - \dfrac{2}{r!} - \dfrac{1}{(r-1)!} = -\dfrac{r^2 + 3r + 1}{(r+1)!}。 由此求 ∑r=1n−r2−3r+1(r+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^{n} \dfrac{-r^2 - 3r + 1}{(r+1)!}…
  7. 7证明 7n−2−5n−1−2n=9n−4(n−2)(n−1)n\frac{7}{n-2} - \frac{5}{n-1} - \frac{2}{n} = \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}。 由此求 ∑n=3N9n−4(n−2)(n−1)n\sum_{n=3}^{N} \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}…
  8. 8等差数列的首项为 aa，公差为 0.50.5，其中 aa 是一个整数。求 aa 的最小值，使得前 36 项的和至少为 500。 数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 的定义为： u0=400u_0 = 400 且当 n≥1n \ge 1…
  9. 9Aenicillin 是一种细菌，在培养皿中培养。其数量每六小时翻一番。将第一天开始时的 Aenicillin 数量记为 x0x_0： (a) 写出 xnx_n（n≥1n \ge 1）的递推关系，其中 xnx_n 为第 nn 天结束时培养皿…
  10. 10已知 f(r)=(r−2)2r−1f(r)=(r-2)2^{r-1}。证明 f(r+1)−f(r)=2rarf(r+1)-f(r)=2^r a r，其中 aa 是一个待确定的常数。 由此求出 ∑r=1nr2r\sum_{r=1}^n r2^r。 利用第 (ii) 部分的结果，用 nn 表示 ∑r=3n(r+2)2r\sum_{r=3}^n (r+2)2^r…
  11. 11将 44r2+12r+5\dfrac{4}{4r^{2}+12r+5} 表示为部分分式。 求 ∑r=2n44r2+12r+5\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \dfrac{4}{4r^{2}+12r+5}。 数列 u1,u2,u3,…u_{1},u_{2},u_{3},\dots…
  12. 12已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=0u_1 = 0 且 un+1=un+4+n−n2[(n+1)(n+2)]2, 对所有 n∈Z+.u_{n+1} = u_n + \frac{4 + n - n^2}{[(n+1)(n+2)]^2}, \text{ 对所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  13. 13树木学家是研究树木和木本植物的专业科学家。他们的工作多种多样，可以涵盖与树木鉴定、分类、生物学和生态学相关的各种活动。一组树木学家正在研究代号为“Vee树”（Tree Vee）和“Jay树”（Tree Jay）的两种树木的生长情况。…
  14. 14已知 ∑n=1Nn3=[N2(N+1)]2,\sum_{n=1}^{N} n^{3} = \left[\frac{N}{2}(N+1)\right]^{2}, 用 N 表示并简化： 12−23+33−43+⋯−(2N)3.1^{2}-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\dots-(2N)^{3}.
  15. 15证明： 2n+1n2+2n+n2−1=n2+2n−n2−1\displaystyle \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-1}。 由此求 ∑n=1N2n+1n2+2n+n2−1\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2-1}}…
  16. 16在一项电脑模拟中，每位玩家使用一个完全相同的水桶，重复向各自指定的、初始为空的水箱中倒水。两位玩家 Chris 和 Elliot 参与了这项模拟，并按以下方式向各自的水箱中倒水： * Chris 第一次用水桶向水箱中倒入 5 升水。随后，他…
  17. 17已知 1−2r=A(r+1)+Br1-2r = A(r+1) + Br，求常数 AA 和 BB。 利用裂项相消法求 ∑r=1n1−2r3r\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{1-2r}{3^r}。 由此求出 ∑r=1∞2−2r3r\displaystyle \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2-2r}{3^r}…
  18. 18验证：3(r+1)!−2r!−1(r−1)!=−r2−3r+1(r+1)!\displaystyle \frac{3}{(r+1)!}-\frac{2}{r!}-\frac{1}{(r-1)!}=\displaystyle\frac{-r^2-3r+1}{(r+1)!}。 由此求出 ∑r=1n−r2−3r+1(r+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n\frac{-r^2-3r+1}{(r+1)!}…
  19. 19用数学归纳法证明： ∑r=1nr3=14n2(n+1)2.\sum_{r=1}^{n} r^{3} = \frac{1}{4} n^{2} (n+1)^{2}. 已知一个级数的第 r 项为 ln⁡(2ar)\ln\left(2a^{r}\right)，其中 aa 是一个正数常数。…
  20. 20Selena 决定于 2025 年 1 月 1 日向银行贷款 $200 000 用于购房。在每个月的第一天，所欠金额将增加 0.5% 的利息，第一次计息时间为 2025 年 1 月 1 日。在每个月的最后一天，她向银行还款 $x，从 2…
  21. 21数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=e10u_1 = \dfrac{e}{10} 且 对于所有 n≥2n \ge 2，un−un−1=e2n−1u_n - u_{n-1} = \dfrac{e}{2^{n-1}}。 使用裂项消去法证明： un=e10[11−10(12)n−1].u_n = \dfrac{e}{10}\left[11 - 10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right].…
  22. 22在一次实验中，掷两个均匀的 nn 面骰子，每个骰子的面上分别标有数字 1，2，...，nn（其中 n≥4n \ge 4）。每个骰子出现的数字定义为与桌面接触的那个面上的数字。如果两个骰子出现的数字不同，则得分记为两个数字中较大的那…
  23. 23求 ∑r=0n[(n+2)r+n]\sum_{r=0}^{n} [(n+2)r + n]，用含 nn 的式子表示你的答案。 [在本题的后续部分中，你可以使用结论 ∑r=1nr3=14n2(n+1)2\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2。] 通过写出…
  24. 24一家金融机构“未来投资有限公司”（Future Investments Inc.）推出了一项新的投资计划。该计划在每年年底支付 5% 的年复利，利息根据每年年初账户中的金额计算。 约翰（John）和萨拉（Sarah）都对这个计划感兴趣。 约…
  25. 25一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 unu_n（其中 nn 是整数，n≥1n \ge 1）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 un+1=(1+p)un ,u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,} 其中 pp 是…
  26. 26一个等差级数的首项 aa 为正数，公差为 dd。该等差级数的第一项、第五项和第二项分别是某个等比级数的前三个连续项。已知该等差级数是递减的。 证明 d=−716ad = -\dfrac{7}{16}a。 给出该等比级数收敛的原因。 已知该等比级数…
  27. 27设数列{an}\{a_{n}\}满足a1=1a_{1}\text{=}1，a2=2a_{2}\text{=}2，an+2=(1+cos⁡2nπ2)an+sin⁡2nπ2{a}_{n+2}=(1+{{\rm\cos}}^{2}\dfrac{nπ}{2}){a}_{n}+{{\rm\sin}}^{2}\dfrac{nπ}{2}…
  28. 28等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 a>0a > 0 且 d≠0d \ne 0。 该等差数列的第一、第六和第九项是某等比数列的连续三项。 证明 25d=−2a25d = -2a。 等差数列的前 nn 项和记为 SS。求满足 SS 大于…
  29. 29一个等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 rr 的等比数列中三个连续的正数项。 证明 r=2r=2。 等比数列的首项是等差数列首项的十分之一。求最小的 nn…
  30. 30瑞安有一些纸牌，他把它们叠成金字塔。他首先叠起纸牌组成一个 1 层的金字塔，然后是另一个 2 层的金字塔，依此类推。不同层数 n 的金字塔如下图所示： 设 SnS_n 表示一个 nn 层金字塔中的纸牌数量。已知对于某些常数 a,ba,b 和…
  31. 31Given that ∑r=1n1r(r+1)=nn+1\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)} = \frac{n}{n+1}. Show that ∑r=2n1r(r−1)=1−1n\sum_{r=2}^{n} \frac{1}{r(r-1)} = 1 - \frac{1}{n}…
  32. 32负实数数列 x1,x2,x3,…x_1, x_2, x_3, \dots 满足关系式 xn+1=−1−2xn, 对于 n≥1. x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n}, \text{ 对于 } n \ge 1. 已知该数列收敛于 ll，求 ll 的精确值。 通过将 2r(r+2)\dfrac{2}{r(r+2)}…
  33. 33设数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，且 Sn=n2−4n+4S_{n}=n^{2}-4n+4． (1)求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式； (2)设bn=an2nb_{n}= \dfrac {a_{n}}{2^{n}}…
  34. 34在某家银行，一个储蓄账户在每个月的最后一天按每月 0.9% 的利率支付利息。2024年1月1日，Mr Monie 在储蓄账户中存入了 $10000 的初始存款，并在之后的每个月开始时继续存入 $810。 求 2 个月结束时 Mr Mon…
  35. 35已知等差数列{an}\{a_{n}\}的公差d>0d>0，前nn项和为SnS_{n}，且满足a2a3=45a_{2}a_{3}=45，a1+a4=14.(1)a_{1}+a_{4}=14.(1)求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式及前nn…
  36. 36已知 ∑r=1n7r+4r(r+1)(r+2)=92−2n+1−5n+2.\sum_{r=1}^{n} \dfrac{7r+4}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{9}{2} - \dfrac{2}{n+1} - \dfrac{5}{n+2}. 求 ∑r=72n7r−3r3−r\sum_{r=7}^{2n} \dfrac{7r-3}{r^3 - r}…
  37. 37数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 满足 u0=1u_0 = 1 且 un=un−1+2n+1n(n+1),for all n∈N+.u_n = u_{n-1} + 2n + \frac{1}{n(n+1)}, \quad\text{for all } n \in \mathbb{N}^+.…
  38. 38已知 f(n)=n5n−1\text{f}(n) = \frac{n}{5^{n-1}}，其中 nn 是正整数。 通过考虑 f(r)−f(r+1)\text{f}(r) - \text{f}(r+1)，求 ∑r=2n4r−15r\sum_{r=2}^{n} \frac{4r - 1}{5^r}…
  39. 39Jeremy 计划在 2024 年初向一个活期账户投资 $100 000，该账户每年支付 复利，年利率为 3.2%。利息在每年的最后一天根据账户内的金额支付。他还在随后每年的第一天向该活期账户中额外存入 $X。 用 XX 表示…
  40. 40下图展示了由正方形组成的一系列图案。阶段 0 由一个边长为 1 的正方形表示。在随后的每个阶段中，将前一阶段中最小正方形边长一半的正方形，添加到前一阶段中正方形的未占用顶点上。 设 A0A_0 为阶段 0 的正方形面积， AnA_n 为阶段…
  41. 41已知 ∑r=1n2r(r+1)(r+2)=12−1(n+1)(n+2).\sum_{r=1}^n \dfrac{2}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}. 写出该级数的无穷项和。 求级数 217×18×19+218×19×20+219×20×21+⋯ .\dfrac{2}{17\times18\times19} + \dfrac{2}{18\times19\times20} + \dfrac{2}{19\times20\times21} + \cdots.…
  42. 42用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 且 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠0,x≠1x \ne 0, x \ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1).\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dots-\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{x^n(x-1)}.…
  43. 43已知 ∑r=1n1r(r+1)=nn+1\displaystyle\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)} = \frac{n}{n+1}。 证明 ∑r=2n1r(r−1)=1−1n\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \frac{1}{r(r-1)} = 1 - \frac{1}{n}…
  44. 44已知数列{an}\{a_{n}\}满足a1=a2=1a_{1}=a_{2}=1，an+2=an+1+an(n∈N∗).a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n\in N^{*}).记SnS_{n}为数列{1an}\{\dfrac{1}{a_{n}}\}的前nn项…
  45. 45已知数列{an}\{a_{n}\}满足a1=1a_{1}=1，a2=13a_{2}= \dfrac {1}{3}，若anan−1+2anan+1=3an−1an+1(n⩾2,n∈N+)a_{n}a_{n-1}+2a_{n}a_{n+1}=3a_{n-1}a_{n+1}(n\geqslant 2,n∈N^{+})…
  46. 46数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=−1u_1 = -1 且 un+1=un+2(3−n)+au_{n+1} = u_n + 2(3^{-n}) + a，其中 n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ 且 aa 为常数。通过考虑 un+1−unu_{n+1} - u_n…
  47. 47已知数列 uru_r 的前 nn 项和为 ∑r=1nur=1−n(n+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n u_r = 1 - \dfrac{n}{(n+1)!}。 求用 nn 表示的 unu_n（其中 n≥2n \ge 2），并将你的答案表示为单…
  48. 48已知 ∑r=1nr2=n(n+1)(2n+1)6,\sum_{r=1}^{n} r^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, 求以 n 表示的 ∑r=1n(3r+1)2\sum_{r=1}^{n} (3r+1)^{2}。 利用第 (i) 问的答案，求 ∑r=1n+1(3r−2)2\sum_{r=1}^{n+1} (3r-2)^{2}…
  49. 49已知一个级数为 ∑r=1n2(4−3x)r\sum_{r=1}^{n} 2(4-3x)^r，其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。确定使该级数的无穷和存在的 xx 取值范围。 令 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1)\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n}{6}(n+1)(2n+1)…
  50. 50已知 ∑r=1n2r(r+1)(r+2)=12−1(n+1)(n+2)\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{2}{r(r+1)(r+2)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}。 写出该级数的无穷项和。 求级数 217×18×19+218×19×20+219×20×21+⋯\displaystyle \frac{2}{17\times18\times19} + \frac{2}{18\times19\times20} + \frac{2}{19\times20\times21} + \cdots…
  51. 51已知数列{an}\{a_{n}\}满足a1=1ka_{1}=\dfrac{1}{k}，k⩾2k\geqslant 2，k∈N∗k\in N^{*}，[an][a_{n}]表示不超过ana_{n}的最大整数((如[1.6]=1)[1.6]=1)…
  52. 52利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) and ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准展开式，求 ln⁡(1+x1−x)\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) 展开式的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx 值，求 ∑r=0∞1(2r+1)4r.\displaystyle\sum_{r=0}^{\infty}\frac{1}{(2r+1)4^r}.…
  53. 53一家名为“未来投资公司”（Future Investments Inc.）的金融机构推出了一项新的投资计划。该计划在每年年底支付 5% 的年复利，利息基于每年年初账户中的金额计算。 约翰（John）和莎拉（Sarah）都对这个计划很感兴趣。…
  54. 54一种名为“Painomore”的药物在血液中的半衰期为 4 小时，其中药物的半衰期定义为药物在血液中减少 50% 所需的时间。该药物的配方规定为每 12 小时给药一次，剂量为 DD 毫克。 求在进行第二次给药前瞬间，血液中残留的“Pain…
  55. 55贝蒂（Betty）需要为派对装饰一面长度为 5 米的墙。她从墙的最左端开始安装挂钩，并将每个挂钩依次编号为 “1”、“2”、“3” 等。第 1st1^{st} 和第 2nd2^{nd} 个挂钩之间的间距为 50 厘米，此后每个相邻挂钩之间的间距…
  56. 562016年5月初，萨姆（Sam）向银行借了 $50 000，银行在每个月末收取 0.2% 的特惠月利率。萨姆从 2016 年 6 月开始，在每个月初偿还每期 $1 000 的分期付款。 证明在偿还第 nn 期分期付款后的那个月末，萨姆…
  57. 57一位著名的艺术家想要创作一件只使用正方形的艺术品。第一天，他画了一个边长为 xx 米的正方形的周长，如图 1 所示。第二天，他将该正方形分成 9 个相等的正方形，并画出中间正方形的周长，如图 2 所示。第三天，他将第二天剩下的 8 个空正…
  58. 58已知数列的第 nn 项为 un=ln⁡(nn+1)u_n = \ln\left(\frac{n}{n+1}\right)，其中 n≥1n \ge 1。 判断该数列是否收敛，并清晰地说明理由。 利用裂项消去法或其他方法，求出用 NN 表示的 ∑n=1Nun\sum_{n=1}^{N} u_n…
  59. 59用数学归纳法证明 ∑r=2n2(r+3)(r+5)=1130−2n+9(n+4)(n+5) .\sum_{r=2}^{n}\frac{2}{(r+3)(r+5)}=\frac{11}{30}-\frac{2n+9}{(n+4)(n+5)}\,. 由此求 ∑r=4n+42r(r+2) .\sum_{r=4}^{n+4}\frac{2}{r(r+2)}\,.…
  60. 60已知 ∑r=1n7r+4r(r+1)(r+2)=92−2n+1−5n+2。\displaystyle\sum_{r=1}^{n} \frac{7r+4}{r(r+1)(r+2)} = \frac{9}{2} - \frac{2}{n+1} - \frac{5}{n+2}。 求 ∑r=72n7r−3r3−r\displaystyle\sum_{r=7}^{2n} \frac{7r-3}{r^{3}-r}…