已知数列的第 $n$ 项为 $u_n = \ln\left(\frac{n}{n+1}\right)$，其中 $n \ge 1$。

1. 求数列通项 $u_n$ 当 $n o \infty$ 时的极限

计算当 $n o \infty$ 时 $u_n$ 的极限：
$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \ln\left(\frac{n}{n+1}\right) = \ln\left(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}\right)$
因为 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1$，
所以 $\lim_{n \to \infty} u_n = \ln(1) = 0$。

2. 根据极限值判断数列的收敛性并给出理由

因为当 $n \to \infty$ 时，极限 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ 存在且为有限实数，所以该数列是收敛的。

1. 利用对数性质拆分通项 $u_n$

利用对数运算性质 $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$，可将通项改写为：
$u_n = \ln\left(\frac{n}{n+1}\right) = \ln n - \ln(n+1)$

2. 运用裂项相消法计算前 $N$ 项和

将拆分后的通项代入前 $N$ 项和表达式：
$\sum_{n=1}^{N} u_n = \sum_{n=1}^{N} (\ln n - \ln(n+1))$
$= (\ln 1 - \ln 2) + (\ln 2 - \ln 3) + (\ln 3 - \ln 4) + \dots + (\ln N - \ln(N+1))$
注意到中间项全部抵消，只剩下首项与尾项：
$\sum_{n=1}^{N} u_n = \ln 1 - \ln(N+1)$
因为 $\ln 1 = 0$，所以：
$\sum_{n=1}^{N} u_n = -\ln(N+1) \quad \text{或} \quad \ln\left(\frac{1}{N+1}\right)$