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裂项相消求和与差分

两个级数的和与差。

这个知识点的练习题

  1. 1已知 f(r)=r(r−1)!f(r)=\dfrac{r}{(r-1)!}，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!f(r-1)-f(r)=\dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}。 由此求 ∑r=2nr2−3r+1(r−1)!\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \frac{r^2-3r+1}{(r-1)!}…
  2. 2已知数列{an}\{a_{n}\}中，a1=76a_{1}=\dfrac{7}{6}，an2−an+1=an+1(n∈N∗)a_{n}^{2}-a_{n}+1=a_{n+1}(n\in N^{*})，SnS_{n}是{1an}\{\dfrac{1}{a_{n}}\}的前…
  3. 3已知 f(r)=r(r−1)!f(r)=\dfrac{r}{(r-1)!}，证明 f(r−1)−f(r)=r2−3r+1(r−1)!f(r-1)-f(r)=\dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}。 由此求 ∑r=2nr2−3r+1(r−1)!\displaystyle\sum_{r=2}^n \dfrac{r^2-3r+1}{(r-1)!}…
  4. 4证明 32r+1−42r+3+12r+5=8r+k(2r+1)(2r+3)(2r+5)\frac{3}{2r+1}-\frac{4}{2r+3}+\frac{1}{2r+5}=\frac{8r+k}{(2r+1)(2r+3)(2r+5)}，其中 kk 是待求常数。 由此求 ∑r=0n2r+7(2r+1)(2r+3)(2r+5)\sum_{r=0}^n \frac{2r+7}{(2r+1)(2r+3)(2r+5)}…
  5. 5用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 以及 x∈Rx\in\mathbb{R}，x≠0, x≠1x\ne 0,\ x\ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1) .\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}-\dots-\frac{1}{x^n}=\frac{1}{x^n(x-1)}\,.…
  6. 6利用 sin⁡(A±B)\sin(A \pm B) 的公式，证明 sin⁡(2r+1)θ−sin⁡(2r−1)θ=2cos⁡2rθsin⁡θ.\sin(2r + 1)\theta - \sin(2r - 1)\theta = 2 \cos 2r\theta \sin \theta . 由此，求出用 sin⁡(2n+1)θ\sin(2n + 1)\theta…
  7. 7通过将 3(3r+1)(3r+4)\frac{3}{(3r+1)(3r+4)} 写成部分分式，求出用 nn 表示的 ∑r=1n3(3r+1)(3r+4)\sum_{r=1}^{n} \frac{3}{(3r+1)(3r+4)}。 由此求出 322×125+325×128+328×131+⋯\frac{3}{22} \times \frac{1}{25} + \frac{3}{25} \times \frac{1}{28} + \frac{3}{28} \times \frac{1}{31} + \cdots…
  8. 8等差数列{an}\{a_{n}\}的前nn项和为SnS_{n}，数列{bn}\{b_{n}\}为等比数列，Sn=n2+nS_{n}\text{=}n^{2}\text{+}n，b1=a1,b2=a1a22.b_{1}\text{=}a_{1}\text{,}b_{2}\text{=}\dfrac{a_{1}a_{2}}{2}\text{.}…
  9. 9验证 3(r+1)!−2r!−1(r−1)!=−r2+3r+1(r+1)!\dfrac{3}{(r+1)!} - \dfrac{2}{r!} - \dfrac{1}{(r-1)!} = -\dfrac{r^2 + 3r + 1}{(r+1)!}。 由此求 ∑r=1n−r2−3r+1(r+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^{n} \dfrac{-r^2 - 3r + 1}{(r+1)!}…
  10. 10有一列按一定顺序和规律排列的数： 第11个数是11×2\dfrac{1}{1×2}；第22个数是12×3\dfrac{1}{2×3}；第33个数是13×4… \dfrac{1}{3×4} …对任何正整数nn，第…
  11. 11证明 7n−2−5n−1−2n=9n−4(n−2)(n−1)n\frac{7}{n-2} - \frac{5}{n-1} - \frac{2}{n} = \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}。 由此求 ∑n=3N9n−4(n−2)(n−1)n\sum_{n=3}^{N} \frac{9n-4}{(n-2)(n-1)n}…
  12. 12已知一个数列满足 u0=2u_{0}=2 且对于 n≥1n\ge 1，有 un=un−1+n3+(12)nu_{n}=u_{n-1}+n^{3}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}。 (a) 已知 ∑r=1nr3=n2(n+1)24\displaystyle \sum_{r=1}^{n} r^{3} = \dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}…
  13. 13数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=12u_1 = \frac{1}{2} 且 un+1=un−n2+n−1(n+2)!,对于所有 n≥1.u_{n+1} = u_n - \frac{n^2 + n - 1}{(n+2)!}, \quad \text{对于所有 } n \ge 1.…
  14. 14已知 f(r)=(r−2)2r−1f(r)=(r-2)2^{r-1}。证明 f(r+1)−f(r)=2rarf(r+1)-f(r)=2^r a r，其中 aa 是一个待确定的常数。 由此求出 ∑r=1nr2r\sum_{r=1}^n r2^r。 利用第 (ii) 部分的结果，用 nn 表示 ∑r=3n(r+2)2r\sum_{r=3}^n (r+2)2^r…
  15. 15已知在数列{an}\{a_{n}\}中，a1=1a_{1}=1，其前nn项和为sns_{n}，且an=2sn22sn−1(n⩾2)(1)a_{n}= \dfrac {2 s_{ n }^{ 2 }}{2s_{n}-1}(n\geqslant 2)(1)证明{1sn}\{ \dfrac {1}{s_{n}}\}…
  16. 16通过将 2(2r+1)(2r+3)\frac{2}{(2r+1)(2r+3)} 化为部分分式，求出用 nn 表示 ∑r=2n2(2r+1)(2r+3)\sum_{r=2}^{n} \frac{2}{(2r+1)(2r+3)} 的表达式。 由此求出 219×121+221×123+223×125+…\frac{2}{19} \times \frac{1}{21} + \frac{2}{21} \times \frac{1}{23} + \frac{2}{23} \times \frac{1}{25} + \dots…
  17. 17通过将 2r(r2−1)\dfrac{2}{r(r^2-1)} 展开为部分分式，求 ∑r=2n2r(r2−1)\displaystyle\sum_{r=2}^{n}\dfrac{2}{r(r^2-1)} 的表达式。 某等比数列的首项为 aa，公比为 rr，其中 aa…
  18. 18将 44r2+12r+5\dfrac{4}{4r^{2}+12r+5} 表示为部分分式。 求 ∑r=2n44r2+12r+5\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \dfrac{4}{4r^{2}+12r+5}。 数列 u1,u2,u3,…u_{1},u_{2},u_{3},\dots…
  19. 19阅读下面问题： 12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1\dfrac{1}{ \sqrt{2}+1} = \dfrac{1×\left( \sqrt{2}-1\right)}{\left( \sqrt{2}+1\right)\left( \sqrt{2}-1\right)} = \sqrt{2}-1…
  20. 20已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=0u_1 = 0 且 un+1=un+4+n−n2[(n+1)(n+2)]2, 对所有 n∈Z+.u_{n+1} = u_n + \frac{4 + n - n^2}{[(n+1)(n+2)]^2}, \text{ 对所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  21. 21求有多少个小于 1000 的正整数是： 奇数。 不能被 5 整除的奇数。 求小于 1000 且不能被 5 整除的所有奇数之和。
  22. 22已知 ∑n=1Nn3=[N2(N+1)]2,\sum_{n=1}^{N} n^{3} = \left[\frac{N}{2}(N+1)\right]^{2}, 用 N 表示并简化： 12−23+33−43+⋯−(2N)3.1^{2}-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\dots-(2N)^{3}.
  23. 23证明： 2n+1n2+2n+n2−1=n2+2n−n2−1\displaystyle \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n+\sqrt{n^2-1}}} = \sqrt{n^2+2n} - \sqrt{n^2-1}。 由此求 ∑n=1N2n+1n2+2n+n2−1\displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2-1}}…
  24. 24已知 1−2r=A(r+1)+Br1-2r = A(r+1) + Br，求常数 AA 和 BB。 利用裂项相消法求 ∑r=1n1−2r3r\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{1-2r}{3^r}。 由此求出 ∑r=1∞2−2r3r\displaystyle \sum_{r=1}^{\infty} \frac{2-2r}{3^r}…
  25. 25验证：3(r+1)!−2r!−1(r−1)!=−r2−3r+1(r+1)!\displaystyle \frac{3}{(r+1)!}-\frac{2}{r!}-\frac{1}{(r-1)!}=\displaystyle\frac{-r^2-3r+1}{(r+1)!}。 由此求出 ∑r=1n−r2−3r+1(r+1)!\displaystyle\sum_{r=1}^n\frac{-r^2-3r+1}{(r+1)!}…
  26. 26求 π∫16x3 dx\pi \int_{1}^{6} x^3 \text{ d}x 的准确值。 图中给出了曲线 y=x32y = x^{\frac{3}{2}} 的草图，其中 x≥0x \ge 0。曲线下方介于 x=1x = 1 和 x=6x = 6 之间的区域（…
  27. 27用数学归纳法证明： ∑r=1nr3=14n2(n+1)2.\sum_{r=1}^{n} r^{3} = \frac{1}{4} n^{2} (n+1)^{2}. 已知一个级数的第 r 项为 ln⁡(2ar)\ln\left(2a^{r}\right)，其中 aa 是一个正数常数。…
  28. 28疾病的基本再生数（reproduction number）R0R_0 是一个数学术语，用于表示一种传染病的传播能力。它给出了每个患者平均传染的人数。如果该社区中没有人接种过该疾病的疫苗，或者没有人对该疾病具有免疫力，这种复制（传播）将会持续…
  29. 29利用 ln⁡(1+x)\ln(1+x) 和 ln⁡(1−x)\ln(1-x) 的标准级数，求出 ln⁡(1+x1−x)\displaystyle\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) 的级数的前三个非零项。 通过在第 (i) 部分的答案中选择合适的 xx…
  30. 30阅读并解答后面的问题． 11×2=12 \dfrac {1}{1×2}= \dfrac {1}{2}，11−12=12 \dfrac {1}{1}- \dfrac {1}{2}= \dfrac {1}{2}；12×3=16 \dfrac {1}{2×3}= \dfrac {1}{6}…
  31. 31已知 z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1 = r_1(\cos\theta_1 + \mathrm{i}\sin\theta_1) 且 z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2 = r_2(\cos\theta_2 + \mathrm{i}\sin\theta_2)，利用三角函数方法证明 z1z2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + \mathrm{i}\sin(\theta_1 - \theta_2)]…
  32. 32证明 1a+b=a−ba−b\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}。 精确求出 ∑r=1250014r−3+4r+1\displaystyle\sum_{r=1}^{2500}\dfrac{1}{\sqrt{4r-3}+\sqrt{4r+1}}…
  33. 33下图所示为 y=x+40y = \sqrt{x+40} 的图像。 通过考虑阴影矩形，证明： n+40<∫nn+1x+40 dx.\sqrt{n+40} < \int_n^{n+1} \sqrt{x+40}\, dx. 由此推出： 1+2+3+⋯+80<∫−4041x+40 dx.\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{80} < \int_{-40}^{41} \sqrt{x+40}\, dx.…
  34. 34求 ∑r=0n[(n+2)r+n]\sum_{r=0}^{n} [(n+2)r + n]，用含 nn 的式子表示你的答案。 [在本题的后续部分中，你可以使用结论 ∑r=1nr3=14n2(n+1)2\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2。] 通过写出…
  35. 35一个数据处理中心每天处理数据（以适当的单位）。设 unu_n（其中 nn 是整数，n≥1n \ge 1）表示从 9 月 1 日开始每天处理的数据量。已知 un+1=(1+p)un ,u_{n+1} = (1 + p)u_n \text{ ,} 其中 pp 是…
  36. 36数列 u1,u2,u3,…u_1,u_2,u_3,\dots 满足 u1=34u_1 = \dfrac{3}{4} 且对所有 n≥1n \ge 1 都有 un+1=un+34(12)2nu_{n+1} = u_n + \dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n}…
  37. 37数列 u0, u1, u2, …u_0,\ u_1,\ u_2,\ \dots 满足 u0=0u_0 = 0 且 un=un−1−2−n(n2−4n+2),对于所有 n∈Z+.u_n = u_{n-1} - 2^{-n}\left(n^2 - 4n + 2\right),\quad\text{对于所有 } n \in \mathbb{Z}^+.…
  38. 38已知数列 u1,u2,u3,…u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots 的前 nn 项和 SnS_{n} 由 Sn=a(3n)+bn+cS_{n}=a(3^{n})+bn+c 给出，其中 a,ba, b 和 cc 是常数且 n≥1n\ge 1。 已知 u1=5,  u2=9u_{1}=5,\;u_{2}=9…
  39. 39一个等差数列的首项为 aa，公差为 dd，其中 aa 和 dd 均非零。该等差数列的第一、第三和第七项是一个公比为 rr 的等比数列中三个连续的正数项。 证明 r=2r=2。 等比数列的首项是等差数列首项的十分之一。求最小的 nn…
  40. 40已知 f(r)=1−3(r+2)!\mathrm{f}(r) = 1 - \frac{3}{(r+2)!}，其中 rr 是非负整数。 证明 f(r)−f(r−1)=a(r+1)(r+2)!\mathrm{f}(r) - \mathrm{f}(r-1) = \frac{a(r+1)}{(r+2)!}，其中…
  41. 41某级数的第 nn 项为 2n−2+3n2^{n-2} + 3n。求其前 NN 项的和。
  42. 42已知Sn{S}_{n} 是公差不为00的等差数列{an}\left\{{a}_{n}\right\} 的前nn项和，S5=35{S}_{5}=35 ，a1,a4,a13{a}_{1},{a}_{4},{a}_{13} 成等比数列． (1…
  43. 43证明 32r−1−42r+1+12r+3=8r+20(2r−1)(2r+1)(2r+3)\frac{3}{2r-1} - \frac{4}{2r+1} + \frac{1}{2r+3} = \frac{8r+20}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)}。 由此证明 ∑r=1n2r+5(2r−1)(2r+1)(2r+3)=23−n+2(2n+1)(2n+3)\sum_{r=1}^{n} \frac{2r+5}{(2r-1)(2r+1)(2r+3)} = \frac{2}{3} - \frac{n+2}{(2n+1)(2n+3)}…
  44. 44瑞安有一些纸牌，他把它们叠成金字塔。他首先叠起纸牌组成一个 1 层的金字塔，然后是另一个 2 层的金字塔，依此类推。不同层数 n 的金字塔如下图所示： 设 SnS_n 表示一个 nn 层金字塔中的纸牌数量。已知对于某些常数 a,ba,b 和…
  45. 45Given that ∑r=1n1r(r+1)=nn+1\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)} = \frac{n}{n+1}. Show that ∑r=2n1r(r−1)=1−1n\sum_{r=2}^{n} \frac{1}{r(r-1)} = 1 - \frac{1}{n}…
  46. 46负实数数列 x1,x2,x3,…x_1, x_2, x_3, \dots 满足关系式 xn+1=−1−2xn, 对于 n≥1. x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n}, \text{ 对于 } n \ge 1. 已知该数列收敛于 ll，求 ll 的精确值。 通过将 2r(r+2)\dfrac{2}{r(r+2)}…
  47. 47已知数列满足 u0=2u_0 = 2 且对 n≥1n \ge 1 有 un=un−1+n3+(12)nu_n = u_{n-1} + n^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^n。 已知 ∑r=1nr3=n2(n+1)24\sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4}…
  48. 48已知等差数列{an}\{a_{n}\}的公差d>0d>0，前nn项和为SnS_{n}，且满足a2a3=45a_{2}a_{3}=45，a1+a4=14.(1)a_{1}+a_{4}=14.(1)求数列{an}\{a_{n}\}的通项公式及前nn…
  49. 49已知数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=13u_1 = \frac{1}{3} 且 ur+1=ur−1(2r−1)(2r+3),对于所有 r≥1.u_{r+1} = u_r - \frac{1}{(2r-1)(2r+3)}, \quad \text{对于所有 } r \ge 1.…
  50. 50已知 ∑r=1n7r+4r(r+1)(r+2)=92−2n+1−5n+2.\sum_{r=1}^{n} \dfrac{7r+4}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{9}{2} - \dfrac{2}{n+1} - \dfrac{5}{n+2}. 求 ∑r=72n7r−3r3−r\sum_{r=7}^{2n} \dfrac{7r-3}{r^3 - r}…
  51. 51数列 u0,u1,u2,…u_0, u_1, u_2, \dots 满足 u0=1u_0 = 1 且 un=un−1+2n+1n(n+1),for all n∈N+.u_n = u_{n-1} + 2n + \frac{1}{n(n+1)}, \quad\text{for all } n \in \mathbb{N}^+.…
  52. 52已知 f(n)=n5n−1\text{f}(n) = \frac{n}{5^{n-1}}，其中 nn 是正整数。 通过考虑 f(r)−f(r+1)\text{f}(r) - \text{f}(r+1)，求 ∑r=2n4r−15r\sum_{r=2}^{n} \frac{4r - 1}{5^r}…
  53. 53已知 ∑r=1n2r(r+1)(r+2)=12−1(n+1)(n+2).\sum_{r=1}^n \dfrac{2}{r(r+1)(r+2)} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}. 写出该级数的无穷项和。 求级数 217×18×19+218×19×20+219×20×21+⋯ .\dfrac{2}{17\times18\times19} + \dfrac{2}{18\times19\times20} + \dfrac{2}{19\times20\times21} + \cdots.…
  54. 54用数学归纳法证明，对于所有正整数 nn 且 x∈Rx \in \mathbb{R}，x≠0,x≠1x \ne 0, x \ne 1， 1x−1−1x−1x2−⋯−1xn=1xn(x−1).\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dots-\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{x^n(x-1)}.…
  55. 55已知 ∑r=1n1r(r+1)=nn+1\displaystyle\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{r(r+1)} = \frac{n}{n+1}。 证明 ∑r=2n1r(r−1)=1−1n\displaystyle\sum_{r=2}^{n} \frac{1}{r(r-1)} = 1 - \frac{1}{n}…
  56. 56由负实数组成的数列 x1,x2,x3,…x_1,x_2,x_3,\dots 满足关系式 xn+1=−1−2xn, 对于 n≥1.x_{n+1} = -\sqrt{1-2x_n},\text{ 对于 } n\ge 1. 已知该数列收敛于 ll，求 ll 的确切值。 通过将 2r(r+2)\dfrac{2}{r(r+2)}…
  57. 57数列 u1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \dots 满足 u1=−1u_1 = -1 且 un+1=un+2(3−n)+au_{n+1} = u_n + 2(3^{-n}) + a，其中 n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ 且 aa 为常数。通过考虑 un+1−unu_{n+1} - u_n…
  58. 58通过将 1(2r+1)(2r+3)\frac{1}{(2r+1)(2r+3)} 写为部分分式，求出用 nn 表示 ∑r=1n1(2r+1)(2r+3)\sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} 的表达式。 解释为什么 ∑r=1n[(−13)r+1(2r+1)(2r+3)]\sum_{r=1}^{n} \left[ \left(-\frac{1}{3}\right)^r + \frac{1}{(2r+1)(2r+3)} \right]…
  59. 59某公司在社交媒体平台上发布了一个视频来推广一款新产品。视频于 4 月 1 日初上传，并在每天结束时记录日浏览量。设 unu_n（其中 n≥1n \ge 1）表示每天记录的日浏览量。已知 un+1=(1+k)un,u_{n+1} = (1 + k)u_n, 其中…
  60. 60已知级数： ∑r=1n2(4−3x)r\sum_{r=1}^{n} 2(4-3x)^{r} 其中 xx 为常数。 解释为什么这是一个等比级数。求使该级数的无穷项和存在的 xx 的取值范围。 设 x=1x = 1，且已知 ∑r=1nr2=n6(n+1)(2n+1),\sum_{r=1}^{n} r^{2} = \dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1),…