阅读并解答后面的问题． $\dfrac {1}{1×2}= \dfrac {1}{2}$ ， $\dfrac {1}{1}- \dfrac {1}{2}= \dfrac {1}{2}$ ； $\dfrac {1}{2×3}= \dfrac {1}{6}$ ， $\dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{3}= \dfrac {1}{6}$ ； $\dfrac {1}{3×4}= \dfrac {1}{12}$ ， $\dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{4}= \dfrac {1}{12}…(1) \dfrac {1}{9×10}$ 等于 $\dfrac {1}{9}- \dfrac {1}{10}$ 吗？请验证． (2)化简 $($ 计算 $)$ ： $\dfrac {1}{1×2}+ \dfrac {1}{2×3}+ \dfrac {1}{3×4}+…+ \dfrac {1}{9×10}$ ．

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完整解法

1. 计算等号左边分数的值

计算等号左边的分母乘积，可得：
$\dfrac{1}{9 \times 10} = \dfrac{1}{90}$

2. 计算等号右边分数减法的值

对等号右边的分数进行通分并相减：
$\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{10}{90} - \dfrac{9}{90} = \dfrac{1}{90}$

3. 比较左右两边的值并得出结论

因为左边计算结果为 $\dfrac{1}{90}$ ，右边计算结果也为 $\dfrac{1}{90}$ ，
所以二者相等，即 $\dfrac{1}{9 \times 10} = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}$ 成立。

答案

相等，验证如下：
$\dfrac{1}{9 \times 10} = \dfrac{1}{90}$ ， $\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{90}$ 。
因为左右两边计算结果相同，所以等式成立。

1. 将算式中的每一项按规律拆写为两数之差

根据题意中的规律及第(1)问的结论，原式中每一项都可以写成两个连续自然数倒数的差：
$\dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dots + \dfrac{1}{9 \times 10}$

ight) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} ight) + \dots + \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10} ight)$$ $$= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}$$

2. 消去中间的互为相反数的项进行化简

由于中间项 $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}$ ， $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}$ 等可以两两抵消，算式可化简为首尾两项相减：
$1 - \dfrac{1}{10}$

3. 计算得到最终答案

计算最终的差值：
$1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$

答案

$\dfrac{9}{10}$

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